Proiezioni e punti medi

[Pachisi]

Sia $ABCD$ un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza, con diagonali perpendicolari. Sia $P$ il punto d'intersezione delle diagonali. Dimostrare che i punti medi dei lati di $ABCD$ e le proiezioni di $P$ sui lati giacciono su una circonferenza.

[sprmnt21]

Per la prova si utilizza il seguente risultato.
Sia M il punto medio di AB e H la proiezione di P su CD (A,B,C e D in senso antiorario).Essendo <D = <A, si prova che M, H e P sono allineati.

I quattro punti medi dei lati formano un rettangolo (lati paralleli e uguali alla metà delle diagonali AC e BD), che è un quadrilatero ciclico. Una proiezioni di P su un lato, essendo allineata con il punto medio del lato opposto sta sulla circonferenza di diametro i punti medi dei due lati.

PS
Si può inoltre provare che il centro di questa circonferenza è il punto medio del segmento congiungente P con il centro della corcnferenza circoscritta ad ABCD.

[Pachisi]

Si, giusto.