Una soluzione ancora più "normale" per il N2 del SNS 2010

[sprmnt21]

Del problema N.2
http://download.sns.it/proveesame/Prova ... _Ianno.pdf

ho trovato due diverse soluzioni rispetto a quella proposta nel pdf linkato: una puramente trigonometrica e una "puramente" geometrica che forse è più "carina" di quella proposta.

[sprmnt21]

La relazione da provare si può scrivere nella forma seguente, dividendo tutto per $d^3$:

$1-(frac a d)^2-(frac b d)^2-(frac c d)^2-2frac a d \cdot frac b d \cdot frac c d=0$

Chiamando $\alpha$, $beta$ e $gamma$ gli angoli alla circonfernza che sottengono rispettivamente le corde $a$, $b$ e $c$,
la precedente relazione si può scrivere come:

$1-sin^2(alpha)-sin^2(beta)-sin^2(gamma)-2sin(alpha) \cdot sin(beta)\cdot sin(gamma)=0$, con $alpha + beta + gamma =\pi/2$


le seguenti identità provano la tesi:

$1-sin^2(alpha)-sin^2(beta)-sin^2(gamma)=cos^2(alpha)-sin^2(beta)-sin^2(gamma)=
sin^2(beta+gamma)-sin^2(beta)-sin^2(gamma)=
(sin beta cos gamma+cos beta sin gamma)^2-sin^2(beta)-sin^2(gamma)=sin^2 beta(cos^2 gamma-1)+sin^2 gamma(cos^2 beta -1)+2sin beta cos gamma cos beta sin gamma=-2sin^2 beta sin^2 gamma+2sin beta cos gamma cos beta sin gamma=2 sin beta sin gamma(cos beta cos gamma - sin beta sin gamma)=2sin beta sin gamma cos (beta+gamma)=2sin beta sin gamma sin alpha$

[sprmnt21]

Del problema N.2
http://download.sns.it/proveesame/Prova ... _Ianno.pdf

ho trovato due diverse soluzioni rispetto a quella proposta nel pdf linkato: una puramente trigonometrica e una "puramente" geometrica che forse è più "carina" di quella proposta.

E questa è la soluzione più "normale".

Applicando il teorema di Tolomeo (più Pitagora, anche se si può considerarlo un corollario del più generale teorema di Tolomeo) al quadrilatero inscritto nella semicirfonferenza:

$(d^2-a^2)(d^2-c^2)=(ac+bd)^2$

Sviluppando e semplificando, si otiene la tesi enunciata.