Fattorizzazione bis

[sprmnt21]

Fattorizzare $x^12+x^8-x^4-1$ in polinomi con coefficienti interi.

[Jace]

Forse l'ho risolto nella maniera corretta!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1. Prepariamoci al raccoglimento parziale:
\(\displaystyle (x^{12}-x^4)+(x^8-1) \)

2. Raccogliamo a fattore comune:
a. \(\displaystyle x^4(x^8-1)+(x^8-1) \)
b. \(\displaystyle (x^8-1)(x^4+1) \)

3. \(\displaystyle (x^4+1) \) sarebbe scomponibile*, ma tale scomposizione non è valida, data la specificazione della consegna riguardo i coefficienti interi.

4. \(\displaystyle (x^8-1) \) è scomponibile, essendo una differenza di quadrati:
a. \(\displaystyle (x^8-1) = (x^4+1)(x^4-1) \)
b. da notare che \(\displaystyle (x^4-1) \) è a sua volta scomponibile in \(\displaystyle (x^2+1)(x^2-1) \)
c. anche \(\displaystyle (x^2-1) \) è scomponibile in \(\displaystyle (x+1)(x-1) \)
d. quindi: \(\displaystyle (x^8-1) = (x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1) \)
e. \(\displaystyle (x^2+1) \) sarebbe scomponibile solo con i numeri complessi**, perciò la scomposizione non sarebbe accettata dalla consegna, che richiede coefficienti interi.

5. Ritornando al polinomio originario, la scomposizione finale sarebbe:
\(\displaystyle (x^8-1)(x^4+1) = (x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)(x^4+1) \)

6. La soluzione è quindi:
\(\displaystyle (x^4+1)^2(x^2+1)(x+1)(x-1) \)

*\(\displaystyle x^4+1 = x^4+2x^2+1-2x^2 = (x^2+1)^2-2x^2 = [(x^2+1)+2^{1/2}x][(x^2+1)-2^{1/2}x] \); \(\displaystyle x^{1/2}=\sqrt{x} \), ma non è un numero intero. Perciò la scomposizione non è valida in questo caso.
** \(\displaystyle x^2+1 = (x+i)(x-i) \), con \(\displaystyle i=\sqrt{-1} \)

Jace