Problemi Normale AA 1990/91 N3

[sprmnt21]

Risolvere il sistema

$\{ (x_1+x_2+...+x_100=5050) , (x_{k}^2-x_{k-1}^2=2k-1) :}$

con $x_k >=0$ e $k=1,2,...,100$



PS
Ora che ho imparato come si mette la parentesi graffa sinistra, posso proporre questo che è rognosetto.

[Rigel]

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In realtà questo problema mi sembra abbastanza trattabile, rispetto ad altri.
Basta calcolare, per \(n= 2, \ldots, 100\),
\[
x_n^2 = x_1^2 + \sum_{k=2}^n (x_k^2 - x_{k-1}^2) = x_1^2 + \sum_{k=2}^n (2k-1) = x_1^2 + n^2 - 1,
\]
da cui
\[
\sum_{n=1}^{100} x_n = \sum_{n=1}^{100} \sqrt{x_1^2 + n^2 - 1} =: \varphi(x_1).
\]
La funzione \(\varphi\) è strettamente monotona crescente in \([0,+\infty)\) ed è esplicitamente computabile per \(x_1 = 1\):
\[
\varphi(1) = \sum_{n=1}^{100} n = \frac{100\cdot 101}{2} = 5050.
\]
Di conseguenza la prima equazione del sistema fornisce \(x_1 = 1\) e, in generale, \(x_n = \sqrt{x_1^2+n^2-1} = n\).

[sprmnt21]

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Di conseguenza la prima equazione del sistema fornisce \(x_1 = 1\) .

puoi spiegare più in dettaglio come si arrivare ad avere $x_1=1$?

[Rigel]

puoi spiegare più in dettaglio come si arrivare ad avere $x_1=1$?

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La funzione \(\varphi\) è, come detto, strettamente monotona crescente in \([0,+\infty)\). Di conseguenza esiste al più un valore di \(x_1 \geq 0\) tale che \(\varphi(x_1) = 5050\) (che è il valore assegnato della somma nella prima equazione). Casualmente, si ha che \(\varphi(1) = 5050\), dunque il valore cercato di \(x_1\) è proprio \(1\).

[sprmnt21]

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Io ho seguito il seguente schema che mi è sembrato tanto laborioso:
1) si prova che se una differenza $x_{k+1}-x_k > 1$ , allora $x_k > k$, lo stesso vale per $=$ e $<$
2) si prova che se $x_k > k$ allora $x_h > h \forall h$ , lo stesso vale per $=$ e $<$
3) solo i valori per cui $x_{k+1}-x_k = 1$ sono compatibili con la prima equazione e quindi l'unica soluzione è $x_i=i$