Problemi Normale AA 1997/98 N5

[sprmnt21]

Dato un triangolo nel piano euclideo si indichi con O il centro della circonferenza in esso inscritta e con G la circonferenza passante per O e per due qualunque dei vertici del triangolo. Provare che il centro di G si trova sulla circonferenza circoscritta al triangolo.

[Pachisi]

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Sia $ABC$ il triangolo dato. Consideriamo la circonferenza passante per $C, O, B$. Sia $E$ l'intersezione della bisettrice $AO$ con la circonferenza circoscritta a $ABC$. Ovviamente, $EC=EB$. Inoltre, $\hat{ECO}=\hat{ECB}+\hat{BCO}=\hat{CBE}+\hat{ACO}=\hat{COE}$. Allora, $EO=EC=EB$. Quindi $E$, che giace sulla circonferenza circoscritta a $ABC$, è il centro della circonferenza passante per $C, O, B$. Stessa cosa se consideriamo altri vertici di $ABC$. Allora il centro di $G$ giace sempre sulla circonferenza circoscritta a $ABC$.

[sprmnt21]

Un modo leggermente differente:

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Sia $I$ il centro di $c(BOC)$. Il quadrilatero formato da $I,O$ e i due punti medi $M$ ed $N$ di $CO$ e $BO$ è ciclico.
Per parallelismo e proprietà degli angoli alla circonferenza rispetto agli angoli al centro, si ha $<OIM=<ONM =<OCB$ e $<OBC=<OIN=<OMN$.
Da queste segue che $ABIC$ è ciclico.

Un altro fatto "notevole" di questa configurazione è che $I$ sta sulla bisettrice di $<A$.