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Siano $x_1, x_2, x_3 \in mathbb{R}$ le tre radici reali di $A(x)$. Le radici di $B(x)$ saranno $x_1^2, x_2^2, x_3^2$. E` noto che $-(x_1+x_2+x_3)=p, -x_1x_2x_3=r$ e $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=q$. In modo simile, $-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=a, (x_1x_2)^2+(x_2x_3)^2+(x_1x_3)^2=b$ e $-(x_1x_2x_3)^2=c$. Allora, vediamo facilmente che $c=-r^2$. Inoltre, si ha $(-(x_1+x_2+x_3))^2=p^2$, ossia $x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=p^2$. Dunque, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=p^2-2q$. Quindi, $a=-(p^2-2q)$. Infine, $(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)^2=q^2$. Semplificando, troviamo che $(x_1x_2)^2+(x_2x_3)^2+(x_1x_3)^2+2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=q^2$. Allora, $b=(x_1x_2)^2+(x_2x_3)^2+(x_1x_3)^2=q^2-2pr$.
Quindi, $B(x)=x^3-(p^2-2q)x^2+(q^2-2pr)x-r^2$.