Girare in tondo

[Quinzio]

La domanda era "quale e' il luogo dei punti ... ".

Appunto. "Qual è" non "Quale figura è"

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Comunque il centro del cerchio medio e' il punto medio dei due centri originali.

Sì

Il suo raggio e' la media dei raggi.

No



Purtroppo continuo a non capire i calcoli che fai, peraltro se ti portano a concludere che quello è il raggio c'è qualcosa che non va ...

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No, il raggio non e' quello, ho fatto confusione.

Prendendo il triangolo di lati $a, b, c$ dove $a, b$ sono i due raggi e $c$ e' la distanza tra i centri,
per calcolare l'angolo $\theta$ tra $a$ e $b$ usiamo il teorema di Carnot:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta$

da cui

$\theta = \arccos ((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab))$

Ora, usando la dimostrazione che ho dato in precedenza, se trasliamo uno dei due cerchi in modo che siano concentrici, il raggio del terzo cerchio (quello di cui determinare il raggio) non cambia.

Quindi ora abbiamo i due cerchi di raggio $a$ e $b$ concentrici.
Un raggio va da $O$, il centro, a $(a, 0)$.
L'altro va da $O$ a $(b cos \theta, b \sin \theta)$.
Il punto medio tra gli estremi di ciascun raggio e' $((a+b cos \theta)/2, (b \sin \theta)/2)$,
da cui il raggio $\sqrt (((a+b cos \theta)/2)^2 + ((b \sin \theta)/2)^2) = 1/2\sqrt(a^2+b^2 + 2ab cos\theta)$.

Sostituendo $\theta$ si arriva a $1/2\sqrt(2a^2+2b^2 -c^2)$ che e' il raggio del cerchio dei punti medi.

[axpgn]

@sellacollesella

Non capisco i suoi, figuriamoci i tuoi

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Hai scritto le equazioni delle circonferenze in forma parametrica (non so quanti le studino alle Superiori), una centrata nell'origine e l'altra spostata in modo tale che si intersechino.
Poi le eguagli per trovare i punti di intersezione (sui conti non entro però cosa significa la virgola dopo la radice, non è un numero la fase?)
Applichi la formula del punto medio e sviluppi i conti ( )

[Quinzio]

@sellacollesella

Non capisco i suoi, figuriamoci i tuoi

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Hai scritto le equazioni delle circonferenze in forma parametrica (non so quanti le studino alle Superiori), una centrata nell'origine e l'altra spostata in modo tale che si intersechino.
Poi le eguagli per trovare i punti di intersezione (sui conti non entro però cosa significa la virgola dopo la radice, non è un numero la fase?)
Applichi la formula del punto medio e sviluppi i conti ( )

Ho fatto in tempo a vedere la formula che avevi scritto.

La mia formula e quella di sellacollesella invece sono uguali...

[axpgn]

Te la riscrivo ma corretta, prima son stato troppo veloce e avevo scritto una cavolata ...

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$r^2+R^2=2r_m^2+2(d/2)^2$ dove $d$ è la distanza tra i due centri e non la somma dei raggi come avevo scritto prima.

Non è più semplice?

[sellacollesella]

Non capisco i suoi, figuriamoci i tuoi

Ma chi ti crede?!

Hai scritto le equazioni delle circonferenze in forma parametrica (non so quanti le studino alle Superiori)

Bhooo ... non ricordo nemmeno cosa ho mangiato ieri, figuriamoci cosa ho studiato anni fa.

una centrata nell'origine e l'altra spostata in modo tale che si intersechino

Sì, ho pensato che quello fosse il modo più facile senza perdere di generalità.

Poi le eguagli per trovare i punti di intersezione

Sì, dato che per \(t=0\) voglio che le due particelle siano nello stesso punto d'intersezione.

cosa significa la virgola dopo la radice, non è un numero la fase?

Ho usato l'arcotangente2, quella l'avevamo trattata alle superiori, però si può fare diversamente: \[
\text{atan2}(y,x) := \begin{cases}
-\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & \text{se} \; y < 0 \\
+\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & \text{se} \; y \ge 0 \\
\end{cases}
\]

Applichi la formula del punto medio e sviluppi i conti.

Esatto, dove la cosa più avanzata è l'utilizzo delle formule di addizione/sottrazione di seno e coseno.

Tutto ciò perché trovavo carino determinare la parametrizzazione del luogo geometrico, non solo il supporto (la circonferenza), ma effettivamente alle superiori non credo ce l'avrei mai fatta, anzi, non avrei proprio considerato l'esercizio tra quelli da me risolubili e quindi l'avrei tranquillamente saltato a piè pari.

[axpgn]

Ho usato l'arcotangente2,

C'è sempre qualcosa da imparare

L'autore la fa ancora più semplice usando però uno strumento che non conosco proprio ...

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Let $c_1$ be the center of the circle of radius $r$ and $c_2$ the center of the circle of radius $R$.
Let $p_1(t)$ and $p_2(t)$ be the positions of the two particles at time $t$.
Set $p(0) = p_1(0) = p_2(0)$, i.e., the intersection point where the particles start.
Then $p_1(t) = M_t(p(0)-c_1) + c_1$ and $p_2(t) = M_t(p(0)-c_2) + c_2$ where $M_t$ is a rotation operator corresponding to time $t$. (We don't need to write $M_t$ explicitly.)
Hence, the midpoint $\bar(p)(t)$ of the line segment joining $p_1(t)$ and $p_2(t)$ is given by $\bar(p)(t)=(p_1(t)+p_2(t))/2=M_t(p(0)-(c_1+c_2)/2)+(c_1+c_2)/2$.
Therefore, the locus is a circle centered at the midpoint of the line segment joining the
circles' centers and passing through the circles' two intersection points.

Cos'è il rotation operator? Grosso modo capisco che sia una funzione che preso un oggetto in entrata te lo restituisce "ruotato"

[sellacollesella]

L'autore la fa ancora più semplice usando però uno strumento che non conosco proprio ...

Più sintetico, più semplice dipende quanto uno è istruito in tal senso ... io non ci capisco nulla.

Cos'è il rotation operator? Grosso modo capisco che sia una funzione che preso un oggetto in entrata te lo restituisce "ruotato"

Pure io la penso così, tipo nel classico sistema di riferimento cartesiano ortogonale lo penserei rappresentato da una matrice di rotazione. Però, ecco, alle superiori le matrici non le ho mai viste, se non in un paio di lezioni in cui ci hanno insegnato a calcolare il determinante con Sarrus (mai capito il senso, dato che poi ho sempre usato Laplace o meglio ancora tramite riduzione per righe). Però, oh, il mondo è bello perché vario.

[axpgn]

Concordo