2) Sia data da risolvere la seguente equazione, nella quale i radicali si intendono in valore assoluto (o, se si preferisce, col segno +):
$ sqrt(x-1)=sqrt(x-2)-1 $
Il candidato consideri il seguente schema di risoluzione
$ x-1=x-2+1-2sqrt(x-2) $ , $ -2sqrt(x-2)=0 $ , $ x=2 $
il numero 2 non `e radice dell’equazione data.
Il candidato indichi come va completato lo schema, in modo che risulti,
senza verifica, che x = 2 non pu`o soddisfare all’equazione iniziale. Dimostri
inoltre direttamente, nel campo reale, che l’equazione considerata non
ha soluzioni.
Ecco la mia soluzione :
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mi viene prima da pensare che il campo di esistenza è $ x>2 $ .Dato che $ sqrt(x-1) geq 0 $ anche $ sqrt(x-2)- 1 geq 0 $ .Quindi $ sqrt(x-2) - 1 geq 0 rArr x geq 3 $ , ciò esclude la soluzione proposta $ x=2 $ . Infine per dimostrare direttamente che l'equazione non è risolvibile in campo reale affermo che, in virtù del campo di esistenza $ sqrt(x-2)< sqrt(x-1) rArr sqrt(x-2)-1 < sqrt(x-1) $
3) Sia n un numero intero e A un numero reale positivo, entrambi fissati. Dimostrareche: “Il prodotto di n numeri positivi aventi somma assegnata nA è più grande possibile quando i numeri sono uguali”. In altre parole, se a1,a2, . . . , an sono n numeri positivi tali che $ a_1+a_2+a_3+... +a_n=nA $
allora si ha $ a_1a_2a_3...a_n leq A^n $
dove l'ugualianza sussiste se e solo se $ a_1=a_2=...=a_n=A $
Il candidato può limitarsi a considerare il caso di valori particolari per noppure, ciò che è desiderabile, il caso generale.
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Dalla prima relazione ricavo che $ (a_1+a_2+a_3+... +a_n)/n=A $ A è dunque la media aritmetica. Dalla seconda ricavo invece $ root(n)( a_1a_2a_3...a_n) leq A $ . Dunque ottengo:
$\{(root(n)( a_1a_2a_3...a_n) leq (a_1+a_2+a_3+... +a_n)/n),(n > 0):}$ inoltre $ a_1,a_2,a_3,...,a_n>0 $. Ho dunque (continuo a sviluppare solo il primo vincolo)
$ n( a_1a_2a_3...a_n)leq (a_1+a_2+a_3+... +a_n)^n rArr n prod_(i = 1)^(n)a_i leq (sum_(k = 1)^(n)a_k)^n rArr $
$ n prod_(i = 1)^(n)a_i leq nprod_(i = 1)^(n)a_i + [ (sum_(k = 1)^(n)a_k)^n - nprod_(i = 1)^(n)a_i] $
questo poichè n-volte la produttoria è addendo dello sviluppo della sommatoria alla n. Poichè la sommatoria di addendi tutti positivi è quantità positiva allora la disugualianza è dimostrata. Giusto?
$\{(root(n)( a_1a_2a_3...a_n) leq (a_1+a_2+a_3+... +a_n)/n),(n > 0):}$ inoltre $ a_1,a_2,a_3,...,a_n>0 $. Ho dunque (continuo a sviluppare solo il primo vincolo)
$ n( a_1a_2a_3...a_n)leq (a_1+a_2+a_3+... +a_n)^n rArr n prod_(i = 1)^(n)a_i leq (sum_(k = 1)^(n)a_k)^n rArr $
$ n prod_(i = 1)^(n)a_i leq nprod_(i = 1)^(n)a_i + [ (sum_(k = 1)^(n)a_k)^n - nprod_(i = 1)^(n)a_i] $
questo poichè n-volte la produttoria è addendo dello sviluppo della sommatoria alla n. Poichè la sommatoria di addendi tutti positivi è quantità positiva allora la disugualianza è dimostrata. Giusto?
4) Due cercatori d’oro hanno due grandi sacchi di pezzi d’oro. Il primo ha solo pezzi da 15 grammi, il secondo pezzi da 21 grammi. Pu`o il primo pagareesattamente al secondo un debito di 27 grammi d’oro? Potrebbe invece il secondo pagare esattamente al primo un debito di 29 grammi d’oro?
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$ 15x+21y=27 $ trovo il MCD $ (21,15) $ . Si potrebbe usare l'algoritmo euclideo ma non mi sembra il caso di scomodarlo poichè $ (21,15)=3 $ e $ 27=3q $ allora l'equazione diofantea ha soluzioni e per il teorema di Bèzout $ 21x+15y=(21,15)rArr 21x+15y=3 $. Come soluzione generica, che però il problema non richiedeva (se non erro) ho trovato $ 15(27+7n)+21(-18-5n)=27 $ . Per il secondo punto : $ 15x+21y=29 $ ma poiche 3 non è divisore di 29 allora l'equazione diofantea non ha soluzione.
Cosa ne dite?Sono buone come soluzioni?
N.B. non ho messo la risoluzione al primo esercizio perchè ho cercato ed ho trovato un topic in cui se ne parla. L'ultimo esercizio invece è disponibile sul testo i problemi di Matematica della Scuola Normale Superiore
Moderatore: Martino
Ritengo di spostare l'argomento in Secondaria II grado.