Esistenza di una funziona esplicita.

[UmbertoM]

Sia $NNxxNN={(m,n):m,n\inNN}$
Esiste una funzione $f:NNxxNN->NN$ che sia biunivoca e possa essere espressa in forma esplicita?

[PZf]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Nello scrivere le formule da cui inizierà il mio ragionamento terrò a mente la tabella qui sotto.
La tabella va letta così: se $f$ è la funzione biunivoca (inversa di quella richiesta) che ad $n\in\NN$ associa una coppia $(n_1,n_2)\in\NN\xx\NN$ allora i numeri che compaiono all'interno della tabella sono i vari valori di $n$, i numeri a sinistra della tabella sono i valori di $n_1$, e i numeri sotto la tabella sono i valori di $n_2$(Nota: sto considerando $0\in\NN$).
\[
\begin{matrix}
5 & | & 15 & . & . & .& . & . \\
4 & | & 10 & 16 & . & .& . & . \\
3 & | & 6 & 11 & 17& .& . & . \\
2 & | & 3 & 7 & 12 & 18& . & . \\
1 & | & 1 & 4 & 8 & 13 & 19& . \\
0 & | & 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & 20\\
- & + & - & - & - & - & - & - \\
& | & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5
\end{matrix}
\]
Ci si convince presto che se riscriviamo $n$ nella forma $n=T_k+\alpha$, dove $T_k={k(k+1)}/2$ è il $k$-esimo numero triangolare, e $0<=\alpha<=k$, allora vale $f(n)=(k-\alpha,\alpha)$.
Per come è costruita tale funzione è chiaramente biunivoca, quindi lo sarà anche la sua inversa.
La funzione si inverte molto facilmente: $n=f^{-1}(n_1,n_2)={(n_1+n_2)(n_1+n_2+1)}/2+n_2$

----------------

Un po' più difficile è scrivere esplicitamente la $f(n)$.
Si tratta di trovare il modo di scrivere in forma esplicita i valori di $k$ e di $\alpha$ in funzione di $n$.
Anzi, se troviamo una funzione $K(n)$ che ad $n$ associa il numero triangolare minore o uguale a $n$, più vicino a $n$ stesso, allora il valore di $k$ cercato coincide con $K(n)$ e $\alpha=n-{K(n)(K(n)+1)}/2$.
Si tratta dunque di trovare una formula esplicita per $K(n)$.
Se $n$ fosse già un numero triangolare allora è molto semplice capire chi è $K(n)$: è semplicemente la soluzione dell'equazione $n={K(n)(K(n)+1)}/2$, dunque $K(n)={-1+\sqrt{1+8n}}/2$.
Passando ora al caso di $n$ generico basta ragionare un attimo, pensando quali valori sono possibili per $\alpha$ e tenendo in mente che la funzione $x|->-1+\sqrt{1+8x}$ è crescente per $x>=0$, convincersi che vale $K(n)=[{-1+\sqrt{1+8n}}/2]$, dove con $[x]$ ho indicato la parte intera di $x$.

In definitiva la funzione $f$ definita da $f(n)=(K(n)-\alpha(n),\alpha(n))$, dove $K(n)=[{-1+\sqrt{1+8n}}/2]$ e $\alpha(n)=n-{K(n)(K(n)+1)}/2$ genera, al variare di $n$, tutte le coppie di $\NN\xx\NN$.

[UmbertoM]

Bella idea la tua, il mio procedimento è diverso dal tuo anche se simile a tratti, ma non so rappresentarlo.

[PZf]

Alternativa molto più elegante (convenendo che $0\in\NN$): $f(x,y)=2^x(2y+1)$.

[UmbertoM]

Alternativa molto più elegante (convenendo che $0\in\NN$): $f(x,y)=2^x(2y+1)$.

Si, ci avevo pensato anche io molto dopo il post, però se $0inNN,f(x,y)=2^x(2y+1)-1$.
Adesso però mi è venuto in mente di creare una funzione esplicita da $ZZxxZZ\toZZ$

La funzione da $NNxxNN\toNN$ che avevo ideato era questa:
$f(m,n)={(m^2+ntext{ se m è pari e m≥n}),(m(m+2)-ntext{ se m è dispari e m≥n}),(n(n+2)-mtext{ se n è pari e m≤n}),(n^2+mtext{ se n è dispari e m≤n}):}$

[PZf]

Alternativa molto più elegante (convenendo che $0\in\NN$): $f(x,y)=2^x(2y+1)$.

Si, ci avevo pensato anche io molto dopo il post, però se $0inNN,f(x,y)=2^x(2y+1)-1$.

Hai ragione! Grazie per la correzione.

Adesso però mi è venuto in mente di creare una funzione esplicita da $ZZxxZZ\toZZ$

Per costruire una biiezione da $\ZZ\times\ZZ$ a $\ZZ$ basta disporre di una biiezione $h$ da $\ZZ$ a $\NN$.
Infatti la funzione $H(x,y)=(h(x),h(y))$ risulterebbe una biiezione da $\ZZ\times\ZZ$ a $\NN\times\NN$ e quindi la funzione $F(x,y)=(h^{-1}\circ\ f\ \circ\ H)(x,y)$ sarebbe una biiezione da $\ZZ\times\ZZ$ a $\ZZ$.
Dato che la biiezione $f$ da $\NN\times\NN$ a $\NN$ è ormai nota, il problema è ricondotto alla ricerca di questa funzione $h$.
La sua inversa potrebbe essere questa ($0\in\NN$): $h^{-1}(y)=y/2$ se $y$ è pari, $h^{-1}(y)=-(y+1)/2$ se $y$ è dispari.
Si deduce che la $h(x)$ è definita così: $h(x)=2x$ se $x>=0$, $h(x)=-(2x+1)$ se $x<0$.

La funzione da $NNxxNN\toNN$ che avevo ideato era questa:
$f(m,n)={(m^2+ntext{ se m è pari e m≥n}),(m(m+2)-ntext{ se m è dispari e m≥n}),(n(n+2)-mtext{ se n è pari e m≤n}),(n^2+mtext{ se n è dispari e m≤n}):}$

Mi viene difficile ragionarci su senza conoscere le idee che ti hanno portato alla scrittura di questa formula.
Comunque ragionandoci un po' mi sembra che funzioni, anche se non ne ho scritto una dimostrazione.