Somma di arcotangenti

[gugo82]

Trovare la somma di

$ arctan(1)+arctan(2)+arctan(3) $.

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Ricordiamo la formula della somma di arcotangenti:
\[
\arctan x + \arctan y = \arctan \left( \frac{x+y}{1-xy}\right)\quad \mod \pi
\]
(che si ricava dalla formula di addizione della tangente) e notiamo che, in particolare, risulta:
\[
\arctan x + \arctan y = \arctan \left( \frac{x+y}{1-xy}\right)\qquad \text{, se } |xy|<1\; ;
\]
inoltre, ricordiamo anche che:
\[
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\qquad \text{, se } x>0\; .
\]
Ciò premesso, abbiamo:
\[
\left. \begin{split}
\arctan 2 &= \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{2}\\
\arctan 3 &= \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{3}
\end{split}\right\}\quad \Rightarrow \quad \arctan 2+\arctan 3 = \pi - \left( \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3}\right)
\]
e dunque:
\[
\begin{split}
\arctan 1 + \arctan 2+ \arctan 3 &= \pi + \arctan 1 - \left( \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3}\right)\\
&= \pi +\arctan 1 - \arctan \left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\right)\\
&= \pi +\arctan 1 - \arctan \left( \frac{5/6}{5/6}\right)\\
&= \pi +\cancel{\arctan 1}-\cancel{\arctan 1}\\
&=\pi\; .
\end{split}
\]