Es 6 test 2013 SNS di Pisa

[marcoallin]

Ciao a tutti, sono Marco, ho 17 anni e faccio la quarta di scienze umane.
Stavo provando a fare questo problema del test d'ammissione della Normale di Pisa

"Si consideri il polinomio:

\(\displaystyle p(x, y) = \frac{(x + y) ^ 2 + 3x + y}{2}\)

(...)
3) Si dimostri che la funzione \(\displaystyle p: \mathbb{N}^2 \mapsto \mathbb{N}\) che associa a (x, y) il numero naturale p(x, y) è invertibile"


Quello che ho provato a fare io è stato
a = x + y (per comodità)

\(\displaystyle 2p = a ^ 2 + a + 2x\)
\(\displaystyle a ^ 2 + a + 2x - 2p = 0\)
\(\displaystyle a = \frac{\sqrt{1 - 8x + 8p} - 1}{2}\)
(considero solo la radice positiva ovviamente)

Ora, il radicando dev'essere un quadrato perfetto, e anche un numero dispari (sennò non sarebbe divisibile per 2)

\(\displaystyle \sqrt{1 - 8x + 8p} = 2n + 1\)
\(\displaystyle 1 - 8x + 8p = 4n^2 + 4n + 1\)
\(\displaystyle x = -\frac{n^2 + n}{2} + p\)

Ricavo anche y

\(\displaystyle a = \frac{\sqrt{1 - 8x + 8p} - 1}{2}\)
\(\displaystyle y = \frac{2n + 1 - 1}{2} - x\)
\(\displaystyle y = \frac{n^2 + 3n}{2} - p\)

Quindi, per il momento

\(\displaystyle p^{-1} = (-\frac{n^2 + n}{2} + p, \frac{n^2 + 3n}{2} - p) \)

Per ogni n, x e y sono sempre interi ma non sempre positivi. Pongo entrambi maggiori \(\displaystyle \geq 0 \)e ottengo

\(\displaystyle \frac{\sqrt{9 + 8p} - 3}{2} \leq n \leq \frac{\sqrt{1 + 8p} - 1}{2}\)

Devo solo più dimostrare che c'è un solo n intero positivo compreso tra quei numeri, ma come?
Per il momento ho solo più fatto

\(\displaystyle \frac{\sqrt{1 + 8p} - 1}{2} - \frac{\sqrt{9 + 8p} - 3}{2} < 1\)
\(\displaystyle \sqrt{1 + 8p} - \sqrt{9 + 8p} + 2 < 2\)
\(\displaystyle \sqrt{1 + 8p} < \sqrt{9 + 8p}\)
\(\displaystyle 1 < 9\)

Che è sempre vero, ok. Ma così ho solo dimostrato che c'è al massimo un intero tra quei numeri, ma potrebbe anche non esserci, no? Come faccio?

Chiedo
1) come concludo con il mio procedimento?
2) è un procedimento corretto?
3) voi come lo risolvereste?

Grazie mille

[milizia96]

Puoi scrivere $p(x,y) = \frac{a(a+1)}{2} + x$
definendo $a = x+y$ come hai fatto tu.
La mia osservazione chiave è che quella frazione conta il numero di coppie ordinate $(\alpha,\beta)\in\mathbbN^2$ tali che $\alpha+\beta < a$.

[marcoallin]

Mi dispiace, ma non saprei comunque come andare avanti dopo questa osservazione..

[milizia96]

Dall'osservazione precedente, $p(x,y)$ è uguale al numero di coppie $(\alpha, \beta) \in \mathbbN^2$ tali che $\alpha + \beta < a$ più il numero di coppie tali che $\alpha + \beta = a$ e $\alpha < x$.
Puoi scrivere l'insieme delle coppie così, in ordine:
$(0,0)$
$(0,1)$
$(1,0)$
$(0,2)$
$(1,1)$
$(2,0)$
$(0,3)$
eccetera
In pratica scrivi prima quelle con somma minore, e in caso di parità quelle con primo elemento minore.
$p(x,y)$ è uguale al numero di coppie $(\alpha, \beta)$ che, in questo elenco, si trovano prima di $(x,y)$ (in pratica, è uguale alla posizione della coppia $(x,y)$ nell'elenco, se consideri che la prima coppia è in posizione $0$).
Da qui si conclude facilmente...