Posso provare a proporre una soluzione?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dal sistema
\[ \begin{cases} x^4=y+z\\y^4=z+x\\z^4=x+y\end{cases} \]
ricavo, sottraendo dalla prima la seconda $x^4 - y ^4 = y - x$
scompongo in $(x + y)(x - y)(x^2 + y^2) = y - x$
suppongo $x \ne y$ e divido $(x + y)(x^2 + y^2) = -1$
sostituisco con la terza equazione $z^4(x^2 + y^2) = -1$
che è impossibile perché al primo membro vengono moltiplicate due quantità positive.
Ripeto lo stesso ragionamento per la prima e la terza equazione e ottengo sempre un'equazione impossibile per $x \ne z$
L'unica soluzione è quindi $x = y = z$
Risolvo
$x^4 = 2x$
\(\displaystyle x = 0 \vee x = \sqrt[3]{2} \)
da cui le due terne \( (0,0,0), (\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}) \)
Ce ne sono di più
eleganti?