Metto la mia soluzione.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si nota facilmente che si possono avere solo i seguenti casi:
$ x_5=0 $, e dunque $ x_1+x_2+x_3+x_4=8 $;
$ x_5=1 $, e dunque $ x_1+x_2+x_3+x_4=5 $;
$ x_5=2 $, e dunque $ x_1+x_2+x_3+x_4=2 $.
Prima di continuare, occorre trovare una formula generale per determinare il numero di n-uple di naturali $ (x_1,x_2,...,x_n) $ che soddisfano l'equazione $ x_1+x_2+...+x_n=k $, dove $ k \in \mathbb{N} $.
Sia $ A $ il numero delle soluzioni, allora $ A= \frac{(n-1+k)!}{k!(n-1)!} $. (Se volete posto anche la dimostrazione)
Da cio` si trova facilmente che:
$ x_1+x_2+x_3+x_4=8 $ ammette $ 165 $ soluzioni.
$ x_1+x_2+x_3+x_4=5 $ ammette $ 56 $ soluzioni.
$ x_1+x_2+x_3+x_4=2 $ ammette $ 10 $ soluzioni.
Sommando, si hanno $ 231 $ soluzioni $ (x_1,x_2,...,x_5) $ di interi naturali per $ x_1+x_2+x_3+x_4+3x_5=8 $.