Cinquine di interi naturali

[Pachisi]

Vi propongo un problema che ho trovato molto interessante.

Trovare il numero di cinquine di interi naturali $ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) $ che risolvono l'equazione

$ x_1+x_2+x_3+x_4+3x_5=8 $

[adaBTTLS]

231?

[Pachisi]

Anche a me viene 231.

[adaBTTLS]

bene! non hai la soluzione (il risultato "ufficiale")?

[Pachisi]

Purtroppo no. Magari dopo, cosi` altri ci possono provare, posto il mio ragionamento e paragoniamo le nostre soluzioni?

[adaBTTLS]

Intendevo dire se per caso il problema era tratto da qualche testo che riportava la soluzione senza il procedimento, cioè se il numero da noi trovato è ufficiale.
Per quanto riguarda il procedimento da postare, forse è il caso di aspettare un pochino se qualcun altro si volesse inserire nella discussione, poi procedi quando vuoi!
ciao!

[xXStephXx]

Direi che è quello, non c'è troppa possibilità di errore

[Pachisi]

Metto la mia soluzione.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si nota facilmente che si possono avere solo i seguenti casi:

$ x_5=0 $, e dunque $ x_1+x_2+x_3+x_4=8 $;
$ x_5=1 $, e dunque $ x_1+x_2+x_3+x_4=5 $;
$ x_5=2 $, e dunque $ x_1+x_2+x_3+x_4=2 $.

Prima di continuare, occorre trovare una formula generale per determinare il numero di n-uple di naturali $ (x_1,x_2,...,x_n) $ che soddisfano l'equazione $ x_1+x_2+...+x_n=k $, dove $ k \in \mathbb{N} $.
Sia $ A $ il numero delle soluzioni, allora $ A= \frac{(n-1+k)!}{k!(n-1)!} $. (Se volete posto anche la dimostrazione)

Da cio` si trova facilmente che:

$ x_1+x_2+x_3+x_4=8 $ ammette $ 165 $ soluzioni.
$ x_1+x_2+x_3+x_4=5 $ ammette $ 56 $ soluzioni.
$ x_1+x_2+x_3+x_4=2 $ ammette $ 10 $ soluzioni.

Sommando, si hanno $ 231 $ soluzioni $ (x_1,x_2,...,x_5) $ di interi naturali per $ x_1+x_2+x_3+x_4+3x_5=8 $.