Sommatoria

[axpgn]

Ma quella non è una parentesi quadra ma la funzione parte intera ...

[giammaria]

Ed è stato chiarito negli interventi successivi (sarebbe stato meglio farlo fin dall'inizio); la mia ultima risposta si riferiva all'interpretazione che ne avevo dato allora e che mi aveva suggerito la modifica.
Curioso il fatto che due interpretazioni completamente diverse conducano a risultati molto prossimi fra loro.

[axpgn]

Non ho capito granché ...

Quindi la tua proposta è da intendersi fin dall'inizio con le parentesi quadre e non come funzione parte intera (come scritto nel primo messaggio e come io avevo inteso) ?
Ah, beh, allora è tutta un'altra cosa dalla mia (dal punto di vista della risoluzione) ...
Quindi una soluzione analitica non c'è ? Sarei curioso ...

[giammaria]

Sì, la mia proposta è da intendersi fin dall'inizio nel modo che dici; è senz'altro possibile che non ci sia una soluzione analitica. Se però ci fosse e qualcuno la postasse appagherebbe anche la mia curiosità.

[Pachisi]

Propongo una soluzione per la seconda: $ sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor $

Semplifichiamo nel seguente modo: $ sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 10000/2^(2n+1)+2^n/2^(2n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 5000/2^(2n)+1/2^(n+1) \rfloor
= sum_(n=0)^infty \lfloor 1/2^n(5000/2^n)+1/2^n(1/2) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor $

Ora, notiamo che dopo un certo valore di $ n $, l'espressione sara` sempre tra $ 0 $ ed $ 1 $ e, allora, la parte intera sara` sempre $ 0 $, dopo tale valore. Occorre quindi trovare tale valore. Dovra` essere:

$ \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor<1 $, da cio` segue che deve essere
$ 0< 1/2^n(5000/2^n+1/2) <1 $.
Essendo sempre maggiore di zero, possiamo considerare la disuguaglianza: $ 1/2^n(5000/2^n+1/2)<1 $, che si risolve facilmente ponendo $ 2^n=t $. Ora, essendo sempre $ 2^n>0 $, occorre solo considerare I valori di $ n $ positivi che risolvono la disuguaglianza. Viene (se volete posso postare i calcoli) $ 2^n> (1+sqrt(80001))/4 \approx 70 $. Da cio ` segue che, dovendo essere $ n \in \mathbb{N} $, per $ n \geq 7 $, $ \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor$ sia $ 0 $ e, allora, non deve essere considerata nella somma (infatti, sarebbe, dopo $n=6$, una somma infinita di zero).


La somma iniziale si puo` dunque riscrivere nel seguente modo: $ sum_(n=0)^6 \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor $, che e` uguale a $ 6664 $.