Un integrale di seni

[dan95]

Calcolare il seguente integrale:
$$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{x\sin^2(x)}{\sinh(x)\arcsin(x)}dx$$

Suggerimento:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Tutto fumo e niente arrosto...

[xXStephXx]

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dispari?

[dan95]

Esatto

[kobeilprofeta]

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dunque 0

[gugo82]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ammesso e non concesso che l'integrando sia effetivamente integrabile secondo Riemann (almeno impropriamente) sull'intervallo in questione.

[xXStephXx]

ma comunque lo è no?

[dan95]

@gugo82
Perché nel punto $x=0$ è discontinua? Che io sappia quella è una discontinuità eliminabile...

[Aleina]

Interessante ho trovato anche qui risorse utili
tecnogers

[Erasmus_First]

Interessante

Non molto, direi. Di matematico c'è solo ciò che non è detto, cioè:
«Occhio agli estremi dell'intervallo di integrazione perché:
Detta p(x) = [f(x) + f(–x)]/2 la "parte pari" di f(x) e detta d(x) = [f(x) – f(–x)]/2 la "parte dispari" di f(x), risulta:
.a. . . . . . . .a. . . . . . . a. . . . . . . . . a
∫f(x)dx = ∫p(x)dx + ∫d(x) dx = 2∫p(x)dx..+..0.
-a. . . . . . -a. . . . . . -a. . . . . . . . .0
[Laondepercui, se p(x) = 0, ...]

Tutto il resto ... è solo noise.
__________

[Erasmus_First]

@gugo82
Perché nel punto $x=0$ è discontinua? Che io sappia quella è una discontinuità eliminabile...

Occhio: x=0 è un punto solo, "isolato".
Nel calcolo di un integrale definito, che la funzione integranda sia continua o discontinua in punti isolati (e, se discontinua, che la discontinuità sia eliminabile o no – o meglio: che il limite destro sia lo stesso del limite sinistro o no –) non ha alcuna importanza (come risulta indirettamente dalla stessa definizione di "Integrale definito [secondo Riemann]").

[Se no ... addio all'analisi armonica di funzioni qua e là discontinue.
Un esempio, il primo che viene in mente: sviluppo in serie di Fourier dell'onda "quadra".
Qd(x) = (2/π)· <Limite, per k tendente a +∞, di> actan[k·sin(x)] =
= (4/π)·<Somma, per n da 0 a +∞, di> [1/(2n+1)]·sin[(2n+1)x]. ]

Ciao ciao