Non è molto difficile...

[ciromario]

Nel triangolo rettangolo ABC l'altezza AH relativa all'ipotenusa BC e la bisettrice AL dell'angolo BAC hanno le seguenti misure:
$\bar{AH}=12$
$\bar{AL}=\frac{60}{7}\sqrt2$
Calcolare la misura del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo.

[giuspeppe94]

Sia $I$ l'incentro del triangolo; i triangoli $LIP$ e $LAH$ sono simili, quindi, indicando con $r$ la quantità cercata, vale $$\frac{r}{AH}=\frac{IP}{AH}=\frac{LI}{LA}=\frac{AL-AI}{AL}=\frac{AL-r\sqrt{2}}{AL}$$
dove l'ultima uguaglianza segue per Pitagora applicato al triangolo rettangolo isoscele $AIQ$, con $Q$ punto di tangenza fra l'incerchio del triangolo e il lato $AB$. La relazione di sopra equivale a:
$$ r = \frac{AH \cdot AL}{AL+AH\sqrt{2}}=5$$

[ciromario]

Ottima risposta. Complimenti a Giuseppe...
Per una migliore comprensione della soluzione posto la figura.

[Erasmus_First]

Per una migliore comprensione della soluzione posto la figura.

OK.
Però, non c'è bisogno di tirare in ballo l'Incentro I e la similitudine tra il triangollino IPL e il triangolo AHL, dato che in ogni triangolo il raggio del cerchio inscritto è l'apotema del triangolo stesso, ossia il rapporto tra il doppio dell'area [che in un triangolo rettangolo è il prodotto dei cateti] ed il perimetro [che in un triangolo rettangolo si può dare in funzione dei soli cateti].

Posto:
h = AH = <altezza relativa all'ipotenusa BC>
d = AL = <lunghezza del segmento di bisettrice (dell'angolo BAC)>
r = <raggio del cerchio inscritto nel triangolo ABC>
queste tre grandezze sono esprimibili come funzioni dei soli due cateti del triangolo rettangolo ABC.
Allora, dalle tre equazioni si possono eliminare i cateti ed avere il raggio r del cerchio inscritto in funzione di h=AH e d= AL.
Ciò si ottiene sorprendentemente con pochissimi e facilissimi passaggi.
Naturalmente, l'espressione di r in funzione di AH e AL è quella già scritta da Giuseppe, dato che il suo procedimento è corretto.

Mostro come ho risolto io questo problemino 'postando' due figure: una di presentazione del problemino stesso, l'altra sul procedimento che conduce alla sua soluzione.

––> Problemino di Geometria piana


––> Discussione e soluzione

Ciao ciao
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