Un limite geometrico

[ciromario]

[Pachisi]

Ci provo, ma non sono sicuro.

Sia $ \overline{AC}=a $, $ \overline{AB}=b $, $ \overline{BC}=c $, $ \overline{PC}=x $ e $ \overline{LP}=m $.

Essendo l'altezza $ \overline{AH} $ perpendicolare all'ipotenusa, per pitagora si ha:

$ \overline{HL}=sqrt(\overline{AL}^2-\overline{AH}^2)=12/35 $.

Essendo la lunghezza della bisettrice $ \overline{AL}=(2a^2b^2)/(a+b)^2 $ e la misura dell'altezza $ \overline{AH}=(ab)/c=(ab)/sqrt(a^2+b^2) $, si ha, risolvendo il sistema composto da queste due equazioni (ed essendo $ a>b $):
$ a=4, b=3$.
Dunque, si calcola $ \overline{BH}=sqrt(\overline{AB}^2-\overline{AH}^2)=9/5 $. Dunque si trova la lunghezza dell'ipotenusa: $ \overline{BC}=sqrt(\overline{AC}^2+\overline{AB}^2)=5 $. Sara`, allora:
$ m+x=5-(9/5+12/35)=20/7 $. Con pitagora si calcola $ \overline{AP}=sqrt(\overline{AH}^2+\overline{HP}^2)=sqrt(144/25+(12/35+m)^2)= sqrt(144/25+(12/35+20/7-x))=sqrt(5(5x^2-32x+80))/5 $. Dunque, il limite diventa:

$ \lim_{P \rightarrow C} (\overline{AC}-\overline{AP})/\overline{PC}=\lim_{x \rightarrow 0} [4-sqrt(5(5x^2-32x+80))/5]/x=4/5 $ (con L'Hôpital).

[Erasmus_First]

Non c'è bisogno di fare tutti quei conti!

L'unica cosa da sapere è il rapporto tra il cateto maggiore AC e l'ipotenusa BC.

Supponiamo di sapere che AC/BC = k.
Tesi: Allora il limite richiesto è proprio k.

Spiego perché.
a) Detto K il piede su AC della perpendicolare per P ad AC, al variare di P il triangolo PKC (rettangolo in K) resta simile al triangolone BAC (rettangolo in A).
Perciò, per qualsiasi P è sempre KC/PC = AC/BC = k.

b) Nel calcolo del limite è lecito sostituire AP con AK perché la differenza AP - AK è infinitesima d'ordine superiore a quello di PK – e quindi anche di PC– [allo stesso modo che, al tendere di x a 0, 1 – cos(x) è infinitesimo d'ordine superiore a quello di sin(x)].

c) Allora il limite richiesto è lo stesso di quello di KC/PC, che è ovviamente k, essendo costantemente k il rapporto KC/PC al variare della posizione di P su BC.


Bye, bye

––––––––––
P.S.
Oops! Edito per colmare una lacuna.
Ho dimenticato di dire che quel rapporto k vale proprio 4/5.
Ciò si deduce facilmente dalle informazioni date dal testo sulla altezza AH (relativa all'ipotenusa) e sul segmento AL di bisettrice (dell'angolo retto BAC).

Ciao ciao

[ciromario]

Complimenti ad entrambi i solutori
C'è solo una piccolissima svista ( di Pachisi). Forse voleva scrivere:
$\bar{AL}^2=\frac{2a^2b^2}{(a+b)^2}$ da cui: $\bar{AL}=\frac{ab}{a+b}\sqrt2$

[Pachisi]

Si hai ragione, intendevo quello.