Una curiosa funzione

[ciromario]

Una funzione f : R → R verifica la proprietà che f(xy) = f(x)+f(y) per ogni x, y ∈ R. Se f(10) = 6
ed f(20) = 10, calcolare il valore di f(25).

[Pachisi]

Ci provo

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Noto che $ f(10)=f(2)+f(5)=6 $ e che $ f(20)=f(2)+f(10)=10 $. Dalla prima relazione, si ha:

$ f(5)=6-f(2) $, e sostituendo nella seconda, abbiamo $ f(20)=f(2)+f(10)=2f(2)+f(5)=2f(2)+6-f(2)=10 $, dunque $ f(2)=4 $. Da cio` si trova che $ f(5)=6-4=2 $, e quindi $ f(25)=f(5)+f(5)=4 $.

Un'osservazione: ma e` $ f(x)= \log_ax $, per qualche $ a>0, a\ne1$ ?

[Gi8]

ma l'unica funzione $f: RR -> RR$ che verifica $f(xy)= f(x)+f(y)$ per ogni $x,y in RR$ è $f(x)=0$ (costante).

[Pachisi]

Edit: Mi sono reso conto dell'errore.

[Gi8]

No, non va bene. La funzione deve essere definita su tutto $RR$.

[Gi8]

Probabilmente il dominio della funzione è $RR^+$. In questo caso la tua soluzione va bene.

[Pachisi]

Ok grazie. Lo stavo proprio per chiedere.

[Erasmus_First]

Una funzione f : R → R verifica la proprietà che f(xy) = f(x)+f(y) per ogni x, y ∈ R. Se f(10) = 6
ed f(20) = 10, calcolare il valore di f(25).

A me, più che curiosa, una tale funzione sembra assurda!

Mi pare che una funzione con la tipica proprietà dei logaritmi (in qualsiasi base), cioè f(x·y) = f(x) + f(y)], tale però che sia f(10) = 6 e f(20) = 10 non esista proprio!

Occhio!
La proprietà f(x·y) = f(x) + f(y) è CARATTERISTICA della funzione logaritmo (in qualsiasi base).

Voglio dire: Qualsiasi funzione f(x) per la quale sia f(a·b) = f(a) + f(b) DEVE essere del tipo k· ln|x| (con k ≠ 0 e costante).
E questo è abbastanza facile da provare.

Dalla proprietà f(a·b) = f(a) + f(b) derivano tante altre proprietà non subito evidenti.
Per esempio:
k·f(x) = f(x^k) anche per k reciproco di un intero, e allora anche per k razionale qualsiasi e infine (con l'introduzione di opportune classi contigue ... alla Cantor) anche per k reale qualsiasi.

Allora si scopre che f(x) è derivabile in ogni x diverso da zero. Facendo il limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento della variabile si trova la derivata di f(x) in ogni x diverso da zero.
Precisamente:
• Deve essere f(1) = 0 dato che f(x) = f(1·x) = f(1) + f(x).
• Allora per ogni x diverso da zero f(1 + ∆/x) è infinitesimo per ∆ infinitesimo.
• f(x+ ∆)= f[x·(1+∆/x) = f(x) + f(1 + ∆/x);
• f(x + ∆) – f(x) = f(1 + ∆/x);
• [f(x + ∆) – f(x)]/∆ = (1/x)·(x/∆)·f(1+∆/x) = (1/x) ·f[(1+∆/x)^(x/∆)];

Codice:

• lim [f(x + ∆ – f(x)]/∆  =  lim (1/x) ·f[(1+∆/x)^(x/∆)]  = (1/x)· f(e)
 ∆ ––> 0                           ∆ ––>0

[dove e è la nota costante di Napier (o costante di Eulero) base dei logaritmi naturali: e ≈ 2,71828 18284 ...

Ergo: $[df(x)]/dx = [f(e)]/x$

Si noti che per x > 0 la derivata di f(x) è sempre dello stesso segno (dato da f(e), costante per ora incognita).
Pertanto f(x) è NECESSARIAMENTE monotòna (in senso stretto).
E' quindi escluso che possa essere f(a) = f(b) per b > a > 0.

In definitiva, se la derivata di f(x) è proporzionale ad 1/x, allora f(x) DEVE essere del tipo
f(x) = k·ln(x)
con k costante.

Pertanto f(x) è completamente definita dal conoscerne il valore in UN SOLO punto x (diverso da zero).

Supponiamo che sia
f(10) = 6.
Allora deve essere
6 = f(10) = f[e^(ln(10))] = ln(10)·f(e) e quindi f(e) = 6/ln(10).

Ammesso f(10) = 6, viene NECESSARIAMENTE f(e) = 6/ln(10) e di conseguenza
f(20) = f[e^(ln(20)] = ln(20)·f(e) = 6·[ln(20)/ln(10)] = (circa) 7,8061 (ben diverso da 10).

Analogamente, ammesso f(20) = 10, sarebbe necessariamente f(e) = 10/ln(20) e di conseguenza:
f(10) = ln(10)·f(e) = 10·[ln(10)]/ln(20) = (circa) 7.6862 (ben diverso da 6).

Pertanto le tre proposizioni
1) $f(a·b)=f(a) + f(b)$
2) $f(10) = 6$
3) $f(20) = 10$
sono INCOMPATIBILI.
[Se due di esse sono vere, non può essere vera la terza]

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Alcune ... "glosse" al testo del quiz ...
a)
E' impossibile che sia f(x·y) = f(x) + f(y) "per OGNI x, y ∈ R".
f(x) NON può essere definita in x = 0.
Infatti, se f(0) fosse un numero, per quasiasi k in cui fosse f(k) diverso da zero, posto h = f(k) sarebbe:
f(0) = f(0·k) = f(0) + f(k) –––> f(0) + h = f(0) –––> h = 0 (contro l'ipotesi h ≠ 0). Assurdo!

b)
f(10) = f(2) + f(5) = 6 <––(equivale a)––> f(2) = 6 – f(5);
f(20) = f(4) + f(5) = f(2·2) + f(5) = f(2) + f(2) + f(5) = 10 <––(equivale a)––> f(2) = [10 – f(5)]/2
Confrontando:
6 – f(5) = [10 -f(5)]/2 <–––> 2·f(5) – 12 = F(5) – 10 <–––> f(5) = 2;
f(2) = 6 – f(5) = 6 – 2 = 4.
Riassumendo:
f(2) = 4; f(5) = 2; f(10) = 6; f(20) = 10; f(25) = 4; [NB: f(2)= f(25) = 4].
Ma allora anche:
f(8) = f(4) + f(2) = f(2·2) + f(2) = f(2) + f(2) + f(2) = 12;
f(100) = f(10) + f(10) = 6 + 6 = 12;
f(1250) = f(2) + f(625) = f(2) + f(25) + f(25) = 12;
f(15625) = f(625·25) = f(25·25) + f(25) = f(25) + f(25) + f(25) = 12;
[NB: f(8) = f(100) = f(1250) = f(15625).
Ecc. ecc.
Questa f(x) non è monotona per x > 0 (e quindi non è biunivoca)! Dal fatto che f(2) = f(25) si deduce che c'è una ... abbondanza di X per ognuno dei quali f(X) è il medesimo.
Infatti, se fosse f(2) = f(25) = 4, per ogni coppia [r, s] succede[rebbe]
f[(2^r)·(25^s)= r·f(2) + s·f(25) = r·4 + s·4 = 4·(r + s).
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Beh: mi pare che possa bastare per essere certi che una funzione f(x) con la proprietà
f(a·b) = f(a) + f(b)
non può valere 6 in x = 10 e anche valere 10 in x = 20.
E viceversa, una funzione f(x) che valga 6 in x = 10 e valga 10 in x = 20 non può avere la proporietà:
f(a·b) = f(a) + f(b)
––––––
Ciao, ciao

[axpgn]

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@ciromario @Erasmus

Beh, qui è tutto curioso ... pure questo:

Cordialmente, Alex