equazione non banale

[mazzarri]

ciao a tutti!
Un problema (per me) di difficle risoluzione
Trovare le soluzioni della equazione
$x^x-2^x-x^2=10$
banalmente vedo la soluzione x=3 ma l'ho trovata a caso, senza un metodo
Come risolvereste in maniera analitica?
Grazie!!

[Erasmus_First]

Trovare le soluzioni della equazione
$x^x-2^x-x^2=10$

Siccome questa è un'equazione "trascendente", per risolverla occorre uno dei vari metodi di approssimazione successiva.
[Occorre – detto in generale – trovare una successione S(n) = {Xn} =X0, X1, X2, ..., Xn, ... convergente, per n tentente all'infinito , alla voluta soluzione].

Uno di questi metodi è quello di Newton, un altro è quello "dicotomico", un altro è il "metodo del punto fisso", ecc.

Il metodo di Newton si studiava anche ai miei tempi; e si può pensare un caso particolare del più generale metodo del "punto fisso".

Il metodo "dicotomico" consiste nel cercare due valori Xb e Xa tale che la soluzione X stia tra essi, spaccare in due l'intervallo Xa –––– Xb, decidere in quale dei due sta la soluzione, tenere solo il mezzo intervallo in cui sta la soluzione ... e ripetere il giochino facendo così tendere a zero la lunghezza dell'intervallo in cui sta la soluzione.

Gli estremi Xa e Xb di un intorno della soluzione si trovano per tentativi.
Poi si parte facendo Xn:= (Xa + Xb)/2 e calcolando quindi F(Xn).
Se trovo 0 ... ho finito (cioè: la soluzione è Xn).
Se Xn sta dalla parte di Xa, allora sostituisco Xa con questo Xn (che ribattezzo Xa); se invece sta dalla parte di Xb, allora sostituisco Xb con questo Xn (che ribattezzo Xb).
Supponiamo che sia F(Xa) > 0 e F(Xb) < 0.
Faccio dunque Xn = (Xa + Xb)/2 e calcolo F(Xn). Se F(Xn) = 0 ... ho finito.
Se F(Xn) è positivo sono dalla parte di Xa; se è negativo dalla parte di Xb.
Nel primo caso pongo Xa:= Xn [che valeva (Xa + Xb)/2]. Nel secondo caso pongo Xb:= Xn.
E ripeto il giochino: Xn = (Xa + Xb)/2. Calcolo F(Xn). Di nuovo, se è F(Xn) = 0 ho finito. Diversamente, se f(Xn) ha il segno di f(Xa) pongo Xa:=Xn, altrimenti pongo Xb:= Xn.
Continuo finché non trovo un Xn con F(Xn) = 0 oppure di valore assoluto trascurabile (ossia un valore di Xn con l'accuratezza soddisfacente nei riguardi dello scopo per cui l'ho dovuto calcolare).
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Parlo un po' del "Metodo del punto fisso".
Sia da trovare uno zero della funzione F(x) (ossia una soluzione dell'equazione F(x) = 0).

Il metodo consiste nel trasformare l'equazione F(x) = 0 in una equivalente del tipo x = f(x) e tale che, dato un Xo iniziale in un certo intorno della soluzione, sia convergente in quell'intorno la successione ricorrentemente così definita:
xn+1 = f(xn).
Si osservi che allora, partendo con un cero x0, si ha
x1 = f(x0); x2 = f(x1) = f(f(x0)); x3 = f(x2) = f(f(x1)) = f(f(f(xo))); x4 = f(x3) = f(f(x2)) = f(f(f(x1))) = f(f(f(f(xo)))); ecc.

[Ho visto che c'è un thread che parla dell'equazione x = cos(x) – con x in radianti – che si risolve ovviamente continuando, con una calcolatrice scientifica, a premere il tasto "cos" partendo da un numero qualsiasi e continuando fino a che il numero visualizzato non cambia più.]

Affinché questa successione converga, la funzione f(x) deve soddisfare certi requisiti.
Non è questa la sede per una trattazione esaustiva della questione.
Ma i requisiti si possono intuire ragionando su una apposita figura ... come mostrerò più sotto.

Intanto, per fissare le idee, trattiamo un facilissimo comodo esempio.
«Calcolare la radice quadrata di un numero positivo k».
Posto $F(x) = x^2 – k$, si tratta di risolvere l'equazione $F(x) = 0$.
Quest'ultima è equivalente a quest'altra:
$x = (k/x + x)/2$.
Infatti: $x^2 – k = 0$ <––(equivale a)-–> $x = k/x$ <–––> $2x = k/x + x$ <–––>$ x = (k/x + x)/2$.
Sparo un arbitrario numero positivo Xo.
Calcolo f(Xo) = (k/Xo + Xo)/2.
Lo assumo come X1 e calcolo f(X1) che assumo come X2.
Continuo così.
Se la successione è convergente, vuol dire che, più grande è l'indice n tanto più piccola è la differenza Xn+1 - Xn.
Se mi bastano tot cifre significative, smetto quando vedo che Xn+1 ha le prime tot cifre uguali a quelle di Xn.

Sia per esempio da calcolare la radice quadrata di 73.
Siccome 8*8 = 64 e 9*9 = 81, mi aspetto un numero non intero tra 8 e 9 e quindi parto con Xo = 8,5.
Con una comune calcolatrice trovo
X1 = (73/8,5 + 8,5)/2 = 8,544117647059;
X2 = (73/X1 + X1)/2 = 8,544003746077;
X3 = (73/X2 + X2)/2 = 8,544003745318;
X4 = (73/X3 + X3)/2 = 8,544003745318;
E' inutile che continui. La mia calcolatrice non cambierà più il prossimo termine della successione.
Per controllo: X4^2 = 73,0000000...
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Tornando alla tua equazione $x^x-2^x-x^2=10$, supponiamo di non sapere che è risolta da x = 3.
Facciamo questi passaggi:
$x^x-2^x-x^2=10$ ––> $e^(xln(x)) - 2^x - x^2 -10=0$ ––> $x = [ln(2^x + x^2 + 10)]/ln(x)$.
[NB. Se invece faccio x = √(x^x - 2^x - 10), ho sì trasformato la data equazione nella forma x = f(x); ma (come sarà chiarito dopo) questo tipo di f(x) non va bene].
Parto con Xo positivo diverso da 1 [perché c'è ln(x) al denominatore e ln(1) = 0], per esempio con Xo = 4.
Trovo successivamente:
X1 = $(ln(2^4 + 4^2 + 10))/ln(4)$ = 2,6961587113894 ;
X2 = $(ln(2^(X1) + X1^2 + 10))/ln(X1)$ = 3,1936816295757571 ;
X3 = $(ln(2^(X2) + X2^2 + 10))/ln(X2)$ = 2,9102085100179 ;
...
Se, come in questo caso, si vede che la successione converge sì, ma lo fa oscillando, conviene fare la media tra due termini consecutivi.
Per esempio, prendo X4 = (X2 + X3)/2 ≈ 3,051945 ... e riparto:
X5 = $(ln(2^(X4) + X4^2 + 10))/ln(X4)$ = 2,973790500849 ;
X6 = $(ln(2^(X5) + X5^2 + 10))/ln(X5)$ = 3,0138819840978;

X7 = (X5 + X6)/2 = 2,993836242473

X8 = $(ln(2^(X7) + X7^2 + 10))/ln(X7)$ =3,003223839... ;
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Continuando, la successione approssima 3 sempre meglio; e la soluzione della tua equazione è x = 3.

Naturalmente, oggi come oggi non conviene più operare con una calcolatrice scientifica bensì con un computer, scrivendo in un programma l'algoritmo da eseguire [nel linguaggio che conosciamo meglio].

Nella figura che segue, quella specie di spirale fatta a "greca", mostra cosa succede col metodo "punto fisso".
Devo trovare l'ascissa del punto P intersezione tra la retta di eq. y = x e la curva di eq. y = f(x).
Parto con un valore Xo di X arbitrario (purché nei dintorni di quei punti in cui il grafico è di quel tipo lì).
Sul grafico parto dunque dal punto Ao (sulla retta di eq. y = x) di coordinate [x, y] = [Xo, Xo].
Calcolo f(Xo) (spostandomi verticalmente dalla retta alla curva in P1). Assumo f(Xo) come nuova ascissa X1 (spostandomi orizzontalmente dalla curva alla retta in A1). Calcolo f(X1) (spostandomi verticalmente dalla retta alla curva in P2). Assumo f(X1) come nuova ascissa X2 (spostandomi orizzontalmente dalla curva alla retta in A2). Calcolo f(X2) (spostandomi verticalmente dalla retta alla curva in P3). Ecc. ecc.
Nel grafico, questi passaggi sono rappresentati da una spezzata a spirale. Se le spire diventano sempre più strette, la spirale converge al punto P di intersezione retta-curva; e Xn converge alla soluzione dell'equazione x = f(x).

Non sempre i detti passaggi corrispondono ad una spirale!
Ciò dipende dall'andamento di della curva di equazione y = f(x) nei dintorni del punto di interzezione con la retta di eq. y = x.
E se f(x) è tale che i passaggi corrispondono ad una spirale, non sempre la spirale è convergente (cioè a spire sempre più piccole). Anche questo dipende dall'andamento della curva di eq. y = f(x).
[In tal caso non si raggiungerà lo scopo di risolvere l'equazione F(x) = 0 alla quale l'eq. x = f(x) è equivalente. Ma ci sono più modi di trasformare la F(x) = 0 nella forma x = f(x). Si cambia modo e si riprova].

Nella figura (in cui si vede una spirale ... convergente), si INTUISCONO i requisiti affinché la f(x) sia OK (per esempio: drivata di f(x) negativa nei dintorni della soluzione, ma con valore assuluto minore di 1, ossia: pendenza della curva minore di quella della retta.)

---> Metodo del punto fisso (PNG)

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Ciao ciao

[mazzarri]

Grazie mille Erasmus, risposta gigantesca, mai più mi immaginavo tanta cura, grazie!!!
Conosco bene il metodo Newton ma non conoscevo assolutamente quello del punto fisso, grazie di avermelo enunciato
Non mi era minimamente venuto in mente di applicare un metodo di approssimazione, pensavo a tutti altri tipi di soluzione e non vedevo la cosa effettivamente più semplice.