Vediamo chi ci riesce...

[ciromario]

Sia $P(x,y)$ il punto variabile sul segmento definito dal sistema misto:
\(\displaystyle \begin{cases}x>0\\y>0\\2x+3y-10=0 \end{cases} \)
Si calcoli, al variare di P, il massimo valore della funzione:
$z=x^3y^2$
P.S. Data la specifica collocazione del quesito, non sono consentiti riferimenti al calcolo infinitesimale ( niente derivate, insomma ).

[axpgn]

Ma come vuoi la soluzione ?

Ti bastano un po' di conti ?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Perché ricavando la $y$ e sostituendola si ottiene $z=4/9x^3(x-5)^2$ e facendo un paio di moltiplicazioni si ottiene che il massimo è $48$ in $x=3$ ... (il massimo deve per forza essere dopo $x=5/2$)

O vuoi una soluzione analitica ...

Buon Natale a tutti, Alex

[ciromario]

@axpgn
Che significa " con un paio di moltiplicazioni" ? Se vuol dire che la soluzione è stata trovata con le derivate
allora ..non vale! (Si era detto senza derivate ).
Se non è così, sarebbe interessante vedere come hai proceduto.

[Erasmus_First]

Sia $P(x,y)$ il punto variabile sul segmento definito dal sistema misto:
\(\displaystyle \begin{cases}x>0\\y>0\\2x+3y-10=0 \end{cases} \)
Si calcoli, al variare di P, il massimo valore della funzione:
$z=x^3y^2$
P.S. Data la specifica collocazione del quesito, non sono consentiti riferimenti al calcolo infinitesimale ( niente derivate, insomma ).

Dall'equazione delle retta ricavo $y = 2/3·(x-5)$, per cui devo trovare il massimo di:
$z(x) = x^3y^2=4/9x^3(5-x)^2$.
Questa funzione ha uno zero triplo in x = 0 ed uno doppio in x = 5.
Nell'intervallo aperto 0 < x < 5 è sempre z(x) > 0. Sia $m$ il massimo assoluto di z(x) in questo intervallo e sia $z(a) = m$
Siccome z(x) è polinomiale, attorno al massimo assoluto deve avere un andamento parabolico (o comunque un tratto con la concavità nel verso di z decrescente). Pertanto, l'equazione $z(x) – m = 0$, cioè:
$4/9·x^3(5-x)^2 - m = 0$,
deve avere in $x = a$ una soluzione di molteplicità pari (2 o 4).
In altre parole, per opportune costanti
$m, a, A, B$ e $C$
deve valere l'identità
$4/9·x^3(5-x)^2 - m = 4/9·(x-a)^2·(x^3 + Ax^2 + Bx + C)$.
L'imporre tale identità conduce ad un sistema di 5 equazioni algebriche nelle 5 incognite $a, A, B, C$ e $m$.
Infatti, riducendo l'uguaglianza alla forma espressamente polinomiale, devono essere uguali i coefficienti dei monomi di egual grado nei due membri uguagliati.
Esplicitamente deve essere:
$A - 2a = -10; $
$B - 2a·A + a^2 = 25;$
$C - 2a·B + a^2·A = 0;$
$-2a·C + a^2·B = 0;$
$-9/4m = a^2·C.$
Eliminando dalle prime 4 equazioni le incognite A, B e C (ed essendo necessariamente $a ≠ 0$ e $a ≠ 5$) si perviene all'equazione lineare in $a$:
$2a - 5 = (3a - 5)/4$
risolta da
$a = 3$.
Infine, il massimo risulta:
$m = z(3) = 4/9·3^3(5-3)^2 = 48.$
--------

[milizia96]

Non bastava la disuguaglianza media geometrica $\le$ media aritmetica?

[Rigel]

Non bastava la disuguaglianza media geometrica $\le$ media aritmetica?

Sì.

[ciromario]

La risposta di Erasmus è certamente ingegnosa ma quella di Milizia mi pare più...abbordabile da tutti.
Una soluzione più leggera può essere quindi la seguente.
Posto $z=x^3y^2$ si ha pure:
$z=3/2\cdot {2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{2x}/3\cdot{3y}/2\cdot{3y}/2$
Pertanto, giusta quanto detto da Milizia, risulta:
$z<=3/2\cdot ((3\cdot({2x}/3)+2\cdot({3y}/2)}/5)^5$
Ovvero:
$z<=3/2\cdot ({2x+3y}/5)^5=3/2\cdot 2^5=48$
Pertanto il massimo di z è 48 e viene raggiunto quando tutti termini della media geometrica sono uguali e
ciò avviene quando si ha :
${2x}/3={3y}/2$
che unita alla condizione $2x+3y=10$ porta al punto $P(3,4/3)$

[Erasmus_First]

Non bastava la disuguaglianza media geometrica $\le$ media aritmetica?

Sì.

Non capisco.
(Media aritmetica) e (media geometrica) di che?
"Non bastava" a che ?
–––––––
Auguri natalizi a tutti.

[Rigel]

Usando la disuguaglianza AM-GM si dimostra che, se \(a_1, \ldots a_n > 0\) e \(c > 0\), allora la soluzione del problema di massimo
\[
\max\{ x_1 x_2 \cdots x_n:\ a_1 x_1 + \cdots +a_n x_n = c,\ x_1, \ldots, x_n > 0\}
\]
soddisfa la condizione di ottimalità
\[
(1) \qquad a_1 x_1 = a_2 x_2 = \cdots = a_n x_n\,.
\]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

E' infatti sufficiente osservare che, per la citata disuguaglianza,
\[
(a_1 x_1 \cdots a_n x_n)^{1/n} \leq \frac{a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n}{n}\,,
\]
da cui si ricava
\[
x_1 \cdots x_n \leq \frac{(a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n)^n}{n^n \, a_1 \cdots a_n}\,,
\]
con uguaglianza se e solo se vale la condizione (1).

In particolare, la soluzione del problema
\[
\max\{x^3 y^2 :\ 2x + 3y = 10,\ x,y>0\} =
\max\{x\cdot x \cdot x \cdot y \cdot y:\ \frac{2}{3}\, x + \frac{2}{3}\, x + \frac{2}{3}\, x + \frac{3}{2}\, y + \frac{3}{2}\, y = 10\}
\]
soddisfa la condizione
\[
\frac{2}{3}\, x = \frac{3}{2}\, y
\]
che, insieme al vincolo \(2x + 3y = 10\), fornisce la soluzione \(x = 3\), \(y = 4/3\).

[Erasmus_First]

Ho capito!
Grazie, Rigel, della dettagliata spiegazione.

Una siffatta soluzione del quiz non mi sarebbe mai venuta in mente!
–––––––––––––––––––––––––

Penso anche che, mentre nei licei scientifici e negli istituti tecnici industriali si studiano derivate ed integrali (e nella mia 5ª Liceo Scientifico – parliamo di oltre trent'anni fa – si studiavano pure le serie [e negli esami di maturità del 1982 uno dei problemi della prova scritta di matematica fu proprio il calcolo del limite di una serie], e nell'ITIS di informatica di circa 25 anni fa anche le serie di Fourier), in nessuna "scuola secondaria" (ossia: pre-universitaria) si insegnano le medie geometriche e aritmetiche (o meglio:medie pesate) a questo livello. Tantomeno questo tipo di applicazione.
Ma forse le discipline sono cambiate profondamente dai tempi ormai andati di quando insegnavo io in "scuole secondarie" ...

Infine ... questo modo di risolvere il quiz è in alternativa al tipo di soluzione che ho offerto io, non certo più semplice e sbrigativo; e non certo di più facile comprensione.
[Sto ancora pensando ai ragazzi della "scuola secondaria"].
Un anno [a.s. 1983/84] ho avuto una 3ª Liceo scientifico ... particolarmente sveglia!
Ne ho approfittato per approfondire lo studio delle coniche e delle funzioni razionali in genere. Sono convinto che un qualche mio allievo di quella classe avrebbe risolto alla mia maniera questo quiz, benché mai io abbia assegnato agli allievi un analogo problema da risolvere.

Gradirei sentire il parere di ciromario che ha proposto questo quiz.
Grazie dell'attenzione.
E ... Buone Feste natalizie a tutti!