Cesenatico 2007, come si procede?

[Doubleduck]

Recentemente è stata notata una curiosa coincidenza. Tutti i più grandi mateninja della storia del villaggio della Retta hanno avuto per forza vitale un intero positivo $N$ tale che esistono $ a_1, ..., a_2007 $ interi positivi per cui $ a_1<a_2<...<a_2007 $ e $ N=1/(a_1)+2/(a_2)+...+2007/(a_2007) $ . Trovare la somma di tutti i valori di N di forza vitale (indicare le ultime 4 cifre se il risultato è maggiore di 9999.
Io ho trovato come successioni buone le progressioni aritmetiche che hanno ragione pari a un divisore di 2007, ma penso che ne manchino altre...

[j18eos]

Puoi inserire a mano la traccia del problema, perché non si legge bene.

Grazie!

[Erasmus_First]

Recentemente è stata notata una curiosa coincidenza. Tutti i più grandi mateninja della storia del villaggio della Retta hanno avuto per forza vitale un intero positivo $N$ tale che esistono $ a_1, ..., a_2007 $ interi positivi per cui $ a_1<a_2<...<a_2007 $ e $ N=1/(a_1)+2/(a_2)+...+2007/(a_2007) $ . Trovare la somma di tutti i valori di N di forza vitale (indicare le ultime 4 cifre se il risultato è maggiore di 9999.
Io ho trovato come successioni buone le progressioni aritmetiche che hanno ragione pari a un divisore di 2007, ma penso che ne manchino altre...

???
Si potrebbe ridurre il quiz ad una forma più ... "cristiana"?

Provo a riscrivere 'sto quiz a modo mio. Per favore, Doppia-Anatra, dimmi se ho interpretato giusto
« Trovare 2007 numeri interi positivi $a_1, a_2, a_3, ..., a_2006, a_2007$ tali che:
• $a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_2006 < a_2007$;
• $1/a_1 + 2/a_2 + 3/a_3 + ... + 2006/a_2006 + 20077/a_2007 =$ <un numero intero, diciamolo $N$>;
[Poi, quando uno conoscesse questi 2007 numeri ... potrebbe farne quel che vuole, per esempio la somma ∑ o il resto della divisione ∑:1000, ossia ∑ mod 1000].

Grazie in anticipo a chi confermerà la mia interpretazione se giusta o la correggerà se sbagliata.

[Doubleduck]

Si sostanzialmente se trovi tutte le 2007-ple che soddisfano quella condizione hai praticamente finito. Sei di queste ce le ho è sono le progressioni aritmetiche ragione un divisore di 2007, ma ne mancano delle altre.

[xXStephXx]

Si, forse è meglio se guardi prima al range che hai a disposizione per $N$, senza pensare a come ottenerle davvero xD

[Doubleduck]

Beh, essendo {$a_k$} una successione strettamente crescente con $a_1>=1$, necessariamente $a_k>=k, \forall k$, e dunque $1<= \sum k/a_k <=2007$, o sbaglio?

[xXStephXx]

Hai ragione, mi era proprio sfuggito quel pezzo


Ok, ma inavvertitamente avevo scritto una cosa che continua a valere.

[Doubleduck]

Ok, ho capito con colpevole ritardo che può assumere tutti i valori tra 1 e 2007

[Doubleduck]

E lo si dimostra anche facilmente, per quanto detto prima $1<=N<=2007$. Dimostro ora che è possibile costruire una successione per ottenere tutti e 2007 i valori possibili.
Sia $1<=\alpha<=2007$, esso si può ottenere costruendo la seguente successione {$a_i$}:
$ a_i={ ( i if 1<=i<=\alpha-1 ),( 2007-\alpha if \alpha<i<=2007):} $
Il "contributo dato dal "primo pezzo" nella somma $ \sum_(i=1)^2007 i/a_i $ sarà $\alpha-1$, il contributo del secondo $1$.

Però magari non c'è bisogno di fare ciò...