Furto a casa Simson (Cesenatico 2008)

[Doubleduck]

Numer ieri notte ha preso in prestito del denaro dal salvadanaio di Linea. Purtroppo per lui Linea se n'è accorta e adesso pretende che le vengano restituiti tutti i soldi più gli interessi. E' disposta a rinunciare agli interessi se Numeri indovina la somma di tutti i valori $m$ per i quali è massima la quantità di quadrati perfetti nella successione
$a_0=m, a_(n+1)=a_n^5+487$. Che numero deve dire Numer?

[kobeilprofeta]

Se il testo è giusto, e quindi non è $(a_n)^5*487$, di cui si riesce velocemente a trovare soluzione, direi che per nessun valore di $m$.
se ci fosse soluzione, cercherei valori di m che terminano con 2,3,4,7,8 o 9.

[Gi8]

Notiamo che
1) preso un qualunque $a_0 in NN$, si ha $a_1 in {0,2,3} (mod 4)$
2)se $a_n in {0,2,3} (mod 4)$ si ha $a_{n+1} = a_n^5 +487 in {2,3} (mod 4)$.

Questo significa che, in ogni caso, per ogni $n>=2$ si ha che $a_n$ non è un quadrato perfetto
(perchè i quadrati perfetti sono congrui a $0$ o $1$ modulo $4$).

proviamo a vedere in quale caso si ha che sia $a_0$ che $a_1$ sono quadrati perfetti.
Poniamo $a_0=a^2$ e $a_1= b^2$.
Si ha $b^2 = a^(10) +487=> (b-a^5)(b+a^5)= 487$.

Dato che $487$ è primo, l'unica possibilità è che $b-a^5= 1$, da cui $2a^5+1=487 => a^5=243 => a=3$.
Quindi l'unica possibilità è $a_0= 9$.

Pertanto la soluzione è $9$