Un massimo

[ciromario]

Il quadrati ABCD ( di lato lungo a) ha il lato AB fisso sulla retta l ( vedi fig.). Un altro quadrato EFGH ( di lato pure uguale ad a) ha il vertice F sulla retta l ed il vertice E mobile sul lato AD. Dal vertice G si tracci la perpendicolare ad l fino ad intersecare la retta CH in M e la retta l medesima nel punto N.
Si determini il valore massimo del segmento MN al variare di E sul segmento AD.

[orsoulx]

$ \phi - 1$

[giammaria]

Trigonometria ed analisi sono lecite? Usandole, io avrei trovato $sin NhatGF=(-1+sqrt5)/2$, che corrisponde al fatto che $AE$ sia la sezione aurea di $AD$; questo mi fa pensare alla possibile esistenza di una risposta molto più rapida.
Prima di scervellarmi, chiedo all'autore se davvero esiste. E' anche possibile che i miei calcoli siano sbagliati e che la risposta non sia quella.

[Erasmus_First]

[...] avrei trovato $sin NhatGF=(-1+sqrt5)/2$ [...].

Giusto.
Lascia perdere se i rapporti sono aurei o no!
Sei a cavallo! Va' avanti e arrivi a concludere.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se il seno del tuo angolo – diciamolo x – è $sin(x)= (sqrt5 - 1)/2$, allora trovi
$cos(x) = sqrt((sqrt5 - 1)/2)$

Posto (per comodità) $a = 1$, la pendenza della retta MC sulla retta l = NB viene dunque
$m = (cos(x) + sin(x) -1)/(1 + sin(x))$ .
Siccome hai anche $NB = 1 + cos(x) + sin(x)$ trovi subito
$MN = BC + m·NB = 1 +((cos(x) + sin(x))^2 - 1)/(1 + sin(x)) ≈ 1,6005662$

Ciao ciao

[Thomas]

Nemmeno io ho avuto grandi idee purtroppo. Buttando tutto nel piano cartesiano ho ottenuto $MN=8/5a$. Ma l'ora è tarda e io sono fuori allenamento. Di certo assomiglia molto al risultato citato da Erasmus_First...

[Thomas]

Mi sà però che ho toppato io, visto che i risultati postati accordano molto di più ... avrò sbagliato qualche conto riguarderò...

[Thomas]

Mmm... provo a scrivere i miei conti così magari trovate l'errore.

Prendo un sistema di riferimento cartesiano con origine in A. L'asse y parallelo ad AD diretto verso l'alto, l'asse x anche lui parallelo ad AB ma diretto verso sinistra. Credo sia chiaro. Pongo $a=1$

1) L'equazione della curva descritta dal punto H, che chiamo $h(x)$ mi pare sia $h(x)=x+\sqrt(1-x^2)$. La derivata $h'(x)=1-x/sqrt(1-x^2)$

2) Punto C con coordinate (-1,1)

3) MN è massimo quando la retta tangente nel punto ad $h$ nel punto $(x_0,h(x_0))$, di equazione $y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$, passa per $(-1,1)$. Imponendo questa condizione trovo $x_0=3/5$.

4) usando questo valore di $x_0$ sono arrivato ad $MN=8/5$.

[Erasmus_First]

[...]sono arrivato ad $MN=8/5$.

Occhio: $8/5 = 1,6$ (secco!).
Il volore è molto prossimo al vero massimo. Questo però non è razionale (ha addirittura un radicale doppio).
L'espressione che ho usato io [lascinando cos(x) e sin(x) al posto di inserire i loro valori] è giusta, anche se sembra diversa da quella scritta per benino da TeM:

si conclude \(\overline{MN}_{max} = \left(1 + \sqrt{2\left(5\sqrt{5} - 11\right)}\right)a\).

$MN_max= 1 +((cos(x) + sin(x))^2 - 1)/(1 + sin(x)) ≈ 1,6005662$

Se metti $sin(x) = (sqrt(5) - 1)/2$ e quindi $cos(x) =sqrt((sqrt(5) - 1)/2)$ trovi appunto $MN_max = 1,6005662·a$.
E questo stesso valore trovi se calcoli l'espressioine di TeM (che ha semplicemente "razionalizzato" il denominatore scrivendo radici soltanto al numeratore).
Ciao ciao
[/quote]

[Thomas]

trovare coerenza tra i vostri risultati non mostra l'errore nei miei conti... li ho postati appunto per cercare di trovarlo potrebbe essere un errore nel procedimento oppure algebrico....

[orsoulx]

Thomas:

trovare coerenza tra i vostri risultati non mostra l'errore nei miei conti... li ho postati appunto per cercare di trovarlo potrebbe essere un errore nel procedimento oppure algebrico....

Penso che l'errore stia nell'impostazione. Tu trovi la semiretta con la maggior inclinazione che proietta da C il punto H sullo 'schermo' (retta vericale per G) e ritieni che questa fornisca la massima proiezione. Sarebbe vero se lo schermo fosse fisso, ma non è così: quando E sale ancora un po', rispetto condizione di massimo che hai trovato, l'inclinazione di CH diminuisce, però, contemporaneamente lo schermo si allontana e, la somma dei due effetti contrari è positiva; MN cresce ancora, fino al vero massimo trovato dagli altri.
La differenza è molto piccola proprio perché i due effetti sono di segno opposto: mentre AE cresce di quasi il 3%, MN aumenta solo di circa 3.5 parti su 10000.
Ciao