Dimostrazione nel piano Euclideo

[Frink]

Ho trovato questo problema in rete e ho pensato di condividere, se a prima vista pare semplice, non sembra esserlo...

Si consideri un set di infiniti punti nel piano euclideo ${x_i|i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$. Questi punti sono tali che $d(x_i,x_j) in NN$ $AA i,j in NN$ con $d(*,*)$ la distanza Euclidea. Si dimostri che questi punti sono allineati, ossia giacciono tutti su una stessa retta.

Il mio unico pensiero era stato di scegliere la metrica discreta per $RR^2$ (non veniva specificato nell'esercizio originale, ma è quasi barare )

Spero sia la sezione giusta, buon divertimento!

[giammaria]

Il testo non mi è chiaro: con $d(x_i,x_j)$ intendi la distanza fra due punti, entrambi aventi coordinate naturali? Se è così, io penserei alle terne pitagoriche, ma questa è solo un'idea iniziale, che per ora non ho sviluppato.

[Frink]

Intendo la distanza Euclidea. Per capirci, la norma Euclidea di $RR^2$.

Ho una soluzione per le mani. Non penso sia l'unica, ma non prevede l'utilizzo di terne pitagoriche. Sono curioso, in bocca al lupo!

[giammaria]

Continuo a non capire: quando parlo di distanza io penso a due punti, che nel piano cartesiano hanno entrambi due coordinate: in totale, sono coinvolti quattro numeri ed ha poco senso scrivere $d(x_i,x_j)$. Parli di norma euclidea: è la distanza dall'origine?
Forse la cosa migliore è che tu faccia un esempio.

[Frink]

${x_i|i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$

Questo è il set che ho definito. Forse il tuo dubbio nasce dal fatto che ho omesso (colpevolmente) che $x_i in RR^2$

Il set corretto è ${x_i in RR^2 |i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$

Questi $x_i$ puoi vederli come vettori, se preferisci dagli un nome diverso da quello che ho usato, effettivamente si potrebbe confondere con la lettera sovente usata per la prima coordinata. La norma Euclidea della differenza tra i due punti è la distanza tra di essi. Scrivo allora che $ || x_i-x_j||inNN $ $AAi,j in NN$

Ti sembra più chiaro ora?

Esempio:

Il punto $(0,0)$ sia $x_0$.
Il punto $(0,3)$ sia $x_1$.
Il punto $(4,0)$ sia $x_2$.

Con un veloce controllo, noterai che ognuno di essi dista da ognuno degli altri un numero intero.

[axpgn]

Guarda che $x_1=(1/3,0)$ e $x_2=(1/2,0)$ soddisfano i requisiti del tuo insieme ma la loro distanza è tutto fuorché intera ...

Detto in altro modo: poni dei vincoli sugli indici ma non sulle coordinate ...

[xXStephXx]

Forse è la notazione che confonde, si può dire pure a parole.
Dimostrare che dati infiniti punti nel piano, tali che presi a due a due la loro distanza è intera, essi sono tutti allineati.

[Frink]

Ok, riscrivo per l'ultima volta l'insieme:

${x_i in RR^2 | || x_i-x_j||inNN, i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$

Ad ogni modo è esattamente quello che ha scritto @xXStephXx

[axpgn]

@Steph
Il senso s'era capito, è la notazione che non funziona ... anche nell'ultima versione, che finalmente ha un'aggiunta sostanziale, c'è un $i in NN$ che è inutile ...

[Frink]

Quella $i$ "inutile" è intesa a dare un'idea della cardinalità dell'insieme, la cardinalità del numerabile.

Comunque, considerazione personale: capisco la pedanteria in fatto di notazione, ma se hai capito puoi provare a risolverlo. Nel primo messaggio avevo scritto l'insieme e avevo posto la condizione fuori dalle graffe, mi pareva chiaro. In ogni caso, posso sempre cancellare.