Dimostrazione nel piano Euclideo

[xXStephXx]

A me la notazione sembrava giusta sin dal primo messaggio, pure fin troppo rigorosa

[axpgn]

1) Il fatto che ho "intuito" il testo del problema non significa che sia in grado di risolverlo; sarebbe una pacchia altrimenti ...

2) Il "nocciolo" della questione lo hai inserito nella definizione dell'insieme al quarto tentativo; avrò la capoccia dura ma non credi si potesse fare di meglio ? ...


Cordialmente, Alex

P.S.: No, Steph, non è così ... per te che ne hai visti tanti hai capito subito cosa significasse , ma l'indice "intero" c'entrava poco col resto ma sembrava fosse la cosa più importante ... IMHO

[xXStephXx]

Comunque, forse è più difficile del previsto, a meno che c'è qualcosa che non vedo xD

Sembra che già con $3$ punti non allineati non ci possano essere tanti altri punti, se questo fosse vero implicherebbe la tesi. Qualche dritta?

[Frink]

Potreste dover ricordare una proprietà delle iperboli studiata in geometria, quasi una loro definizione...

[xXStephXx]

Ah wooow non ci avevo pensato Pure più bello del previsto allora xD

A questo punto basta considerare che se ci sono $3$ punti non allineati: $P_1$, $P_2$ e $P_3$ e un quarto punto $P$, allora vale che $-P_1P_2 <= PP_1 - PP_2 <= P_1P_2$ e $PP_1 - PP_2$ è sicuramente intero. Quindi $P$ può stare su $P_1P_2+1$ iperboli diverse di cui una è la retta che contiene $P_1$ e $P_2$.
Ripetendo lo stesso ragionamento usando $P_2$ e $P_3$ si ottiene che $P$ può stare su $P_2P_3+1$ iperboli di cui una è la retta per $P_2$ e $P_3$ diversa dalla retta per $P_1$ e $P_2$ (perchè i punti non erano allineati).

Due iperboli non degeneri hanno al più $4$ intersezioni, retta e iperbole $2$ e due rette incidenti $1$, quindi supponendo per semplicità che ce ne siano sempre $4$ si ha che $P$ può stare al massimo in $4\cdot (P_1P_2+1) \cdot (P_2P_3+1)$ punti diversi. Quindi non possono essere infiniti. Quadra?

[Frink]

Perfetta, io avevo glissato l'ultima parte dicendo semplicemente che non potevano essercene infiniti, senza quantificare!

L'ho trovata anche io molto carina, ma senza suggerimento non ce l'avrei mai fatta...

[Erasmus_First]

O[...]Ad ogni modo è esattamente quello che ha scritto @xXStephXx

[...]Dimostrare che dati infiniti punti nel piano tali che presi a due a due la loro distanza è intera, essi sono tutti allineati.

Mi pare che la dimostrazione dovrebbe essere fatta "per assurdo", ossia far vedere che, se i punti non sono allineati, è impossibile che le distanze siano intere per ognuna delle infinite coppie di punti distinti.

Allora io farei così
a) I punti li penso in un piano cartesiano e chiamo $x_i$ le ascisse e $y_i$ le ordinate
[e $P_i$ i punti di coordinate $(x, y) = (x_i, y_i)$].
b) Non cambia nulla se metto un punto $P_0$ nell'origine $O(0,0)$.
b) Non cambia ancora nulla se eseguo una rotazione che mi porta sull'asse delle ascisse il puntp $P_1$.
c) Se i punti sono allineati, basta che siano intere le nuove ascisse ... ed è tutto OK (perché allora le nuove ordinate son tutte nulle).
Se no, occorre che per ogni punto $P_i$ con $i > 1$ sia intera sia la distanza tra $P_i$ e $P_0 = (0,0)$ che la distanza tra $P_i$ e $P_1 = (x_1,0)$. Ma questo è impossibile perché :
• Se infiniti punti stessero sull'asse delle ascisse ma non tutti, dovrebbero esserci, per ogni punto non sull'asse delle ascisse, infinite terne pitagoriche con lo stesso cateto (ma questo non è vero: le terne con un medesimo lato sono in numero finito, ... oltre che essere molto rare!).
• Se sono solo n punti (con n ≥2) che stanno sull'asse delle ascisse, dovrebbero esserci infinite n-ple di terne pitagoriche con un cateto uguale in ciascuna delle quali n terne pitagoriche avrebbero un cateto uguale (e anche questo non è vero).
[Insomma: presi due punti distinnti arbitrari, questi individuano una retta. Per ogni altro punto dovrebbero esserci sempre due terne pitagoriche con un cateto uguale; e già questo mi pare impossibile, dovendo succedere per ogni arbitraria coppia dell'insieme di cardinalità infinita. Ma otre a ciò, le altre infinite mutue distanze dovrebbero essere ancora intere!]

Può darsi che la mia dimostrazione non sia molto rigorosa per i puristi della matematica.

Ma io (che fui un ingegnere invece che un mathematicus ) sono sicuro che, dopo piazzati due punti sull'asse delle ascisse a distanza intera uno dall'altro, non si riesce a sistemare più di alcuni punti (forse due soli, giurerei non più di tre) a distanza "razionale" sia DAI DUE PUNTI sull'asse delle ascisse sia TRA LORO.
E' facile costruire un insieme di infiniti punti P tutti a distanza intera da due fissati punti A e B posti a distannza intera uno dall'altro, (e non allineati con i P.)
Ma è impossibile che questi siano pure a mutua distanza intera, tranne il caso di totale allineamento con A e B.

–––––––––
Ciao ciao

[xXStephXx]

ma senza suggerimento non ce l'avrei mai fatta...

Era un hint gigante xD Prima avevo provato a farlo simile ma con le circonferenze di raggio intero e non sembrava nulla di amichevole Si riusciva giusto a capire che i punti dovevano essere numerabili (se non fosse stato specificato nelle ipotesi).

[Rigel]

Ma io (che fui un ingegnere invece che un mathematicus ) sono sicuro che, dopo piazzati due punti sull'asse delle ascisse a distanza intera uno dall'altro, non si riesce a sistemare più di alcuni punti (forse due soli, giurerei non più di tre) a distanza "razionale" sia DAI DUE PUNTI sull'asse delle ascisse sia TRA LORO.

In realtà, per ogni \(n\) naturale è possibile trovare \(n\) punti non allineati che abbiano mutue distanze intere; è però impossibile trovarne infiniti non allineati (che abbiano mutue distanze intere).

[Erasmus_First]

[In realtà, per ogni \(n\) naturale è possibile trovare \(n\) punti non allineati che abbiano mutue distanze intere; è però impossibile trovarne infiniti non allineati (che abbiano mutue distanze intere)

Grazie, Rigel, della correzione!
In effetti, siccome so trovare tante terme pitagoriche con lo stesso cateto dispari quanti sono i modi di scrivere quel cateto come prodotto di due numeri dispari coprimi, dato n intero arbitrario, basta assemblare un numero sufficiente di fattori primi per un "cateto dispari" per ottenere un insieme di n punti allineati ed un (n+1)-esimo punto ... fuori dai ranghi!
Per esempio, con <cateto dispari> = 3*5*7 = 105, ho quattro terne pitagoriche primitive:
1*105 = 105 ––> 105, 5512, 5513
3*35 =105 ––> 105, 608, 617
5*21 = 105 ––> 105, 208, 233
7*15 = 105 ––> 105, 88, 137
Allora, col prodotto di tre primi come cateto dispari trovo 4 terne pitagoriche primitive che mi danno quattro punti allineati ed un quinto punto no a mutue distanze tutte intere.
Nell'esempio, posso prendere quattro punti sull'asse delle ordinate a quota uguale al cateto pari ed un quinto punto sull'asse delle ascisse a distanza dall'origine uguale al comune cateto dispari. Precisamente
P1 = (0, 5512)
P2 = (0,668)
P3 = (0, 208)
P4 = (0,88)
P5 = (105, 0)
Eh, eh: c'è sempre da imparare da chi ne sa di più!

Ciao ciao.