Valore Massimo

[Pachisi]

Trovare il valore massimo dell'espressione $x^2y-y^2x $ quando $ 0<=x<=1$, $0<=y<=1$.

[Erasmus_First]

Trovare il valore massimo dell'espressione $x^2y-y^2x $ quando $ 0<=x<=1$, $0<=y<=1$.

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Posto $z =x^2y-y^2x = xy*(x-y)$, $z$ è positivo per $y < x$, negativo per $x < y$ e nullo per $x =0$, per $y = 0$ e per $x = y$.
Posto ancora $y = mx$, si ha $z = x^3[m(1-m)]$, con $z>0$ per $0<x≤1$ e $0 < m <1$.
Il massimo di $z$ sarà dunque per $x=1$ e per $m$ tale che sia massimo $m(1-m)$, ossia per $m = 1/2$ e quindi $y = mx =1/2$.
In conclusione, il massimo di $z$ sta in $(x,y) = (1, 1/2)$ e vale $1^2*1/2 - (1/2)^2·1 = 1/4$.

Ciao ciao

[Pachisi]

Esatto!
Io ho fatto in modo diverso.

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Completo il quadrato rispetto a $y^2$, ottenendo $-x(y-x/2)^2+x^3/4$. Si vede facilmente che il massimo si ha per $x=1$ e $y=x/2=1/2$. Precisamente, il massimo e` $1/4$.

Ne propongo un altro sempre sullo stesso tema:

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Trovare il valore massimo di $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-y^2x-z^2y$ quando $ 0<=x<=1 $,$ 0<=y<=1 $,$ 0<=z<=1 $.

[orsoulx]

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L'espressione si può scrivere: $ ((x-z)^3+(y-x)^3+(z-y)^3)/3 $ e, osservando che le basi hanno somma 0, il massimo $ (1/4) $ si ottiene quando una delle tre differenze vale 1 e le restanti $ -1/2 $. Ad esempio $ x=1, y=1/2, z=0 $.

[Pachisi]

Esatto!
Metto la mia soluzione in spoiler, in caso qualcuno ci volesse provare.

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Notiamo che si puo` scrivere $y=ax$ e $z=bx$ per opportuni $a,b$ ($0<=a<=1,0<=b<=1$). Dunque, si ha $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-y^2x-z^2y=x^3(a-b)(1-a)(1-b) $. Posto $m=1-a$ e $n=1-b$, abbiamo $x^3(a-b)(1-a)(1-b)=x^3(n-m)mn$. Per essere massimo deve essere $x=1$ e dunque abbiamo $(n-m)mn$, che e` la stessa espressione del primo quesito che ho proposto, il cui massimo e` dato da $m=1/2$,$n=1$. Ossia, $a=1/2$ e $b=0$. Il massimo sara` dato quando $x=1,y=1/2,z=0$ (e da ogni loro permutazione), ed e` precisamente $1/4$.

[Erasmus_First]

[...]Trovare il valore massimo di $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-y^2x-z^2y$ quando $ 0<=x<=1 $,$ 0<=y<=1 $,$ 0<=z<=1 $.

Chiamo w la tua funzione a tre variabili e trovo che la posso decomporre nel prodotto di tre fattori ... così:
$w = x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-y^2x-z^2y = (x-z)(y-x)(z-y)$.
Vedo che c'è un andamento ciclico. Mi spiego.
Se metto in ordine ciclico (per esempio ai vertici di un triangolo equilatero) le tre lettere x, y e z, vedo che sono equivalenti le tre terne ordinate
[x, y, z], [y, z, x], [z, x, y],
il massimo ce l'ho prendendo massima la prima lettera, nulla la terza e intermedia la seconda perché dei tre fattori
$a$ = <Prima meno terza>,
$b$ = <Seconda meno prima>,
$c$= <Terza meno seconda>:
• $a$ viene positivo e vale 1
• $b$ e $c$ vengono entrambi negativi (e quindi con prodotto positivo).

Insomma: ci sono tre massimi uguali semplicemente girando ciclicamente le tre variabili.

Assumo x = 1 e z = 0.
Trovo $w = 1*(y – 1)*(-y) = y(1-y)$ che è massimo per $y = 1/2$ dove vale $1/4$.
Riassumendo:
La tua funzione è massima nei tre punti
X(1, 1/2, 0); Y(0, 1, 1/2); Z(1/2, 0, 1)
in ciascuno dei quali vale 1/4.
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Ciao ciao