Problema della SNS di Pisa 2014

[E-313]

Salve, ho avuto un piccolo problema con questo esercizio, ma alla fine penso di averlo risolto:
Determina tutte le terne di numeri interi positivi a,b,c tali che $ a^7+b^7=7^c $

L'ho risolto in questo modo: Sapendo dal piccolo teorema di Fermat che $ a^7-=a (mod7) $ e
$ b^7-=b (mod7) $ allora $ a^7+b^7-=a+b (mod7) $ a essendo $ a^7+b^7=7^c $ andando a sostituire $ 7^c-=a+b (mod 7) $ che è soddisfatto solo per a e b entrambi zero, perché qualsiasi potenza di sette divisa per 7 dà come resto 0.


Poi ho pensato anche a trattare i vari casi, come per c=7 per l'ultimo teorema di Ferat l'uguaglianza non ammette soluzioni intere, e per la congettura di Beal quando $ c>2 $ e $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)=1 $ l'uguaglianza non ammette solouzioni, però dopo non so come trattare il caso in cui $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)!= 1 $ .
Grazie

[Pachisi]

Spero di non dire una cavolata, ma credo che basti il primo paragrafo per mostrare che non ci sono soluzioni per $a,b,c$ interi positivi.

[E-313]

Ma infatti il primo paragrafo è il ragionamento ultimo che avevo fatto, ma non sono sicuro che sia giusto.
Il secondo pezzo, mi sembra leggermente più corretto ma non so come continuare.

[milizia96]

Non capisco perché dici che, se $7^c \equiv a+b\ (\mod 7)\ $, allora $a=b=0$.
Per esempio $a=11$ e $b=3$ soddisfano quella relazione per ogni $c>0$.

[E-313]

Giusto. Il fatto che se $ 7^c-=a+b (mod7) $ allora $ a=b=0 $ l'avevo inteso come $ 7^c-(a+b)=7n $ con $ 7n $ una potenza di 7. Che è sbagliato, e la congruenza cercata esiste per a=150 , b=144 e c=3. Quindi il primo paragrafo è in definitiva sbagliato.
Quindi, qualcuno potrebbe indicarmi almeno la strada che bisogna seguire per trovare le terne che soddisfano l'uguaglianza?

[Ghirlinghe]

Io mi ci sto scervellando da un bel pò di tempo,e dopo parecchio finalmente ho trovato cha va bene ogni soluzione del tipo $ (7^k;0;7k) $ con $ k in \mathbb[N] $.Sono inoltre giunto ad un mucchio di conclusioni accessorie:scambiando a e b si ha ancora soluzione,a b e c non sono negativi,e,ultima ma più importante,a e b non possono avere fattori comuni se non il 7,perchè,se ne avessero,potrebbero essere raccolti ma non potrebbero essere divisori di una potenza di 7,quindi basta considerare il caso in cui a e b siano coprimi,cetera sequentur,ossia basterà moltiplicare sia a che b per $ 7^m $ e aumentare c di m.Per il resto,ancora niente conclusioni definitive

[milizia96]

quindi basta considerare il caso in cui a e b siano coprimi

utile osservazione.

Che considerazione si può fare su $a+b$?

[ciromario]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

a+b deve essere un multiplo di 7

[E-313]

Lo zero non è escluso in quanto la traccia chiede interi positivi? Visto che $ a^7+b^7=7^c $ è soddisfatta per a pari e b dispari o viceversa. a+b è dispari? $ a+b-=1 (mod2) $ ?

[xXStephXx]

Forse ci sono altri modi, ma $a^7+b^7$ si fattorizza bene. I due fattori devono soddisfare una condizione precisa e uno dei due deve essere piccolo.