$d_3^2+d_4^2= 2n+1$

[Gi8]

Sia $n$ un intero positivo.
Siano $1=d_1< d_2<...<d_k=n$ tutti i suoi possibili divisori positivi, ordinati in senso crescente.
Se $k>=4$ e $d_3^2+d_4^2=2n+1$, quanto può valere $n$?


Ad esempio: $n=18 => {(d_1=1),( d_2= 2), (d_3=3), (d_4=6), (d_5=9), (d_6=18):}$ non va bene perchè $d_3^2+d_4^2=45$ mentre $2n+1=37$

[axpgn]

Va bene questo?

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$3^2+4^2=2*12+1$

o intendevi altro?

Cordialmente, Alex

[Gi8]

Sì, quello va bene.
Specifico meglio la richiesta: trovare tutti e soli gli $n$ con tale proprietà.

[axpgn]

Mi pareva ...

Cmq, anche il secondo della lista va bene cioè ...

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$n=20$

... che strano ...

[orsoulx]

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12 e 20

Ciao

[Gi8]

... anche il secondo della lista va bene

che lista?

@orsoulx: vorrei il procedimento

[axpgn]

che lista?

Quella che mi sono fatto ...
Sembra che siano tutti divisibili almeno per quattro oppure solo per due ...

[axpgn]

Il procedimento preciso non lo so, posso solo fare delle congetture ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siccome $2n+1$ è dispari i due quadrati devono essere discordi quindi il nostro $n$ deve essere pari ma siccome $2$ non può essere il terzo o il quarto divisore ci deve essere un altro $2$ perciò i numeri multipli solo di due hanno l'altro divisore troppo "grande" mentre quelli divisibili per otto, sedici, ecc, hanno troppi $2$; tra quelli divisibili per quattro abbiamo i due trovati (col tre e col cinque) e poi ... non saprei come escludere quelli con due e sette, due e undici, ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Basterebbe indicarlo nel testo. Allora:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

2n+1 è dispari, perciò i divisori in questione devono essere un pari e un dispari.
Se n contenesse un solo fattore 2, i due divisori dovrebbero essere p e 2p (dove p è il più piccolo primo dispari divisore di n), e questo porta ad un'equazione diofantea impossibile.
Allora i divisori sono 4 e p. L'equazione diventa \( p^2+15=2n \) , p deve dividere 15, p può solo essere 3 o 5.

Ciao

[Gi8]

Basterebbe indicarlo nel testo.

Con tutto il rispetto, ma che senso ha mettere solo la soluzione finale? La cosa più interessante che c'è nel risolvere un problema è il modo con cui lo si risolve.
Tra l'altro, scrivendo solo "12 o 20" non mi permetti di capire se hai risolto per intero l'esercizio o se hai solo fatto alcune prove e ti sono saltate fuori due soluzioni.
Un po' più di educazione, per favore.