Quadrati e rettangoli quasi equivalenti.

[Vulplasir]

Come si sa un quadrato di lato $21 m$può essere scomposto in un rettangolo di dimensioni $13*34 m^2$ andando a perdere miracolosamente $1 m^2$. Facendo con cura il disegno si può notare che in verità i pezzi non coincidono tra loro e c'è un pezzo di area $1$ in veritá vuota. Dimostrare che esiste una successione $S_n$ di valori del lato del quadrato che permettono questa scomposizione tali che per $n$ che tende a infinito l'errore tra le aree del quadrato e del rettangolo diventa trascurabile.

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È una successione molto conosciuta

[Erasmus_First]

Come si sa un quadrato di lato $21 m$ può essere scomposto in un rettangolo di dimensioni $13*34 m^2$ andando a perdere miracolosamente $1 m^2$.

A "perdere" o a "guadagnare"?
Va beh: fin qua tutto chiaro. L'area del rettangolo è $442$ $m^2$ e quella del quadrato è $441$ $m^2$, cioè $1$ $m^2$ di meno.

[...] Dimostrare che esiste una successione $S_n$ di valori del lato del quadrato che permettono questa scomposizione tali che per $n$ che tende a infinito l'errore tra le aree del quadrato e del rettangolo diventa trascurabile.

Qua invece ... non capisco cosa si richiede di fare.
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[Vulplasir]

Si a guadagnare ho sbagliato. In effetti la mia richiesta è poco chiara, in pratica dimostrare che la successione di Fibonacci $F_n$ soddisfa quella richiesta, ossia che se il valore del lato del quadrato appartiene alla successione allora esso è scomponibile in un rettangolo che ha o $1 m^2$ in più o $1 m^2$ in meno, e quindi all'aumentare di $n$ questo divario diventa trascurabile.

[Pachisi]

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Sia $f_n$ il lato del quadrato. Abbiamo $f_(n-1)f_(n+1)-f_n^2=(-1)^n, n \ge 1$. Dunque, basta scegliere un rettangolo con lati $f_(n-1)$ e $f_(n+1)$.

Ora dimostro l'uguaglianza scritta sopra:
Usando la definizione della successione di Fibonacci, abbiamo $f_(n-1)f_(n+1)-f_n^2=(f_n-f_(n-2))(f_n+f_(n-1))-f_n^2$. Semplificando diventa $-(f_(n-2)f_n-f_(n-1)^2)$. Dunque, ponendo $a_n=f_(n-1)f_(n+1)-f_n^2$, si ha $a_n=-a_(n-1)$. Dunque, $a_n=(-1)^(n-1)a_1$. Segue che $f_(n-1)f_(n+1)-f_n^2=(-1)^(n-1)(f_0f_2-f_1^2)=(-1)^n$.
Spero di essere stato abbastanza chiaro.