Dato un angolo $\Theta$ formato da due semirette r ed s con centro in $O$ prendiamo un punto $A$ su r e un punto $B$ su s, dopodiché costruiamo una linea spezzata tra A e B tramite un punto $V$ interno all'angolo. L'unica limitazione è che $AV+BV=L$, con L una lunghezza fissata. A,B e V sono mobili rispettivamente lungo le rette su cui giacciono e lungo la linea spezzata.
Trovare l'area massima d $AOBV$ in funzione di $L$ e $\Theta$.
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Allora, vi propongo questa soluzione conscio che potrebbero essere tutte ca....te.
Non sapevo come impostare un classico problema di massimo e minimo perché le variabili erano troppe (e ti pare se la Normale a volte fa cose normali?!), ho ragionato così:
Immaginiamo che il quadrilatero $AOVB$ sia la base di un parallelepipedo avente una certa altezza. Questo solido è costruito in modo tale che l'angolo $\Theta$ rimanga costante ma che tutto il resto possa variare. Ora riempiamo il parallelepipedo con dell'acqua a una certa pressione, che per comodità sarà pari a $1(Kg)/m^2$. Inoltre porremo che non vi siano forze esterne.
L'acqua tenderà a espandere al massimo il solido, con una forza che è pari alla pressione (che per comodità abbiamo posto 1) per l'area di base. Allora essendo la pressione costante la forza dipenderà dall'area delle superfici, e ponendo l'altezza del solido pari a 1,abbiamo che le forza agenti su V sono vettori $A(1)V$ e $B(1)V$ con direzione ortogonale a $AV$ e $VB$ e modulo pari a $AV$ e $VB$.
Osserviamo che in tale stato il solido è immobile, ovvero nessuno dei punti V,A e B si muove. Abbiamo che affinché nessuno dei punti si muova è sufficiente che $V$ non si muova. Infatti se V cambia, allora cambia anche la sua distanza da r e da s, per cui A e B devono "adattarsi" agli spostamenti di V.
Ecco dunque un disegno con le forze agenti su V:
Adesso sommiamo le forze rappresentate dai vettori $VA(1)$ e $VB(1)$. Otteniamo così il punto V(1) e unendo tale punto a A(1) e a B(1) otterremo un parallelogramma. Adesso ci resta da vedere che parallelogramma è.
Consideriamo un altro esperimento, stavolta consideriamo O un punto per mezzo del quale tutta la struttura (che ipotizziamo essere praticamente senza massa) è appesa ad un soffitto. Immaginiamo che fra A e B (i quali sono immaginati come punti che in qualche modo possono scorrere lungo r e s) vi sia una qualche specie di tubo molto flessibile e che all'interno del tubo vi sia un peso che lo piega fino a fargli assumere la forma di una linea spezzata. Non ci interessa studiare questo esperimento, ci basta notare che di tutte le possibili configurazioni ottenibili variando l'angolo fra una delle rette e il soffitto vi avremo anche la configurazione di area maggiore da noi cercata. In ogni caso, comunque, il peso tenderà naturalmente a "cadere" il più possibile, arrestandosi nel punto a potenziale gravitazionale minore, punto che sarà allineato al centro di massa della terra, ma anche al punto per il quale la struttura è attaccata al soffitto, ovvero il punto O, così che la reazione vincolare del piano contrasti la forza di gravità e mantenga il sistema in equilibrio.
Allora abbiamo ottenuto un' altra informazione, cioè che O,V e V(1) sono allineati, come in figura:
Allora ci chiediamo qual è quella figura geometrica tale da cui, costruendo un tale parallelogramma partendo dai suoi lati, si ricavano 3 punti allineati come in figura.
La risposta che mi sono dato è che tale figura è il deltoide. Per giustificare tale risposta notiamo che gli angoli $A(1)VB(1) $ e $AVB$ sono complementari per costruzione. Inoltre si può facilmente dimostrare che i 2 triangoli $V(1)VB(1)$ e $AVB$ sono congruenti (anche se dal disegno non sembra
)
Immaginiamo poi che la nostra costruzione sia una certa trasformazione, che trasforma A in A(1), B in B(1) e V in V(1). Allora notiamo che essa scambia le lunghezze di $AV$ e $BV$, in modo tale che $A(1)V(1)=BV$ e $B(1)V(1)=AV$. Da tutte queste informazioni deduciamo che la figura cercata è un deltoide.
Adesso ci domandiamo: di tutti i deltoidi con un dato perimetro ($AV+BV=L$ per ipotesi, quindi $2p=2L$), qual è quello di area massima?
Senza risolvere questo problema di massimo, riprendiamo il primo esperimento. Notiamo che la configurazione per cui l'espansione è massima deve essere unica, come unico è il punto di massimo di una funzione. Tuttavia ponendo $AV diverso BV$ vi sarebbero 2 soluzioni simmetriche. Il deltode cercato è quindi un rombo di lato $L/2$ e angolo $\Theta$
Con un po' di trigonometria otteniamo infine che l'area è $(L^2/4)sen(\Theta)$
Non sapevo come impostare un classico problema di massimo e minimo perché le variabili erano troppe (e ti pare se la Normale a volte fa cose normali?!), ho ragionato così:
Immaginiamo che il quadrilatero $AOVB$ sia la base di un parallelepipedo avente una certa altezza. Questo solido è costruito in modo tale che l'angolo $\Theta$ rimanga costante ma che tutto il resto possa variare. Ora riempiamo il parallelepipedo con dell'acqua a una certa pressione, che per comodità sarà pari a $1(Kg)/m^2$. Inoltre porremo che non vi siano forze esterne.
L'acqua tenderà a espandere al massimo il solido, con una forza che è pari alla pressione (che per comodità abbiamo posto 1) per l'area di base. Allora essendo la pressione costante la forza dipenderà dall'area delle superfici, e ponendo l'altezza del solido pari a 1,abbiamo che le forza agenti su V sono vettori $A(1)V$ e $B(1)V$ con direzione ortogonale a $AV$ e $VB$ e modulo pari a $AV$ e $VB$.
Osserviamo che in tale stato il solido è immobile, ovvero nessuno dei punti V,A e B si muove. Abbiamo che affinché nessuno dei punti si muova è sufficiente che $V$ non si muova. Infatti se V cambia, allora cambia anche la sua distanza da r e da s, per cui A e B devono "adattarsi" agli spostamenti di V.
Ecco dunque un disegno con le forze agenti su V:
Adesso sommiamo le forze rappresentate dai vettori $VA(1)$ e $VB(1)$. Otteniamo così il punto V(1) e unendo tale punto a A(1) e a B(1) otterremo un parallelogramma. Adesso ci resta da vedere che parallelogramma è.
Consideriamo un altro esperimento, stavolta consideriamo O un punto per mezzo del quale tutta la struttura (che ipotizziamo essere praticamente senza massa) è appesa ad un soffitto. Immaginiamo che fra A e B (i quali sono immaginati come punti che in qualche modo possono scorrere lungo r e s) vi sia una qualche specie di tubo molto flessibile e che all'interno del tubo vi sia un peso che lo piega fino a fargli assumere la forma di una linea spezzata. Non ci interessa studiare questo esperimento, ci basta notare che di tutte le possibili configurazioni ottenibili variando l'angolo fra una delle rette e il soffitto vi avremo anche la configurazione di area maggiore da noi cercata. In ogni caso, comunque, il peso tenderà naturalmente a "cadere" il più possibile, arrestandosi nel punto a potenziale gravitazionale minore, punto che sarà allineato al centro di massa della terra, ma anche al punto per il quale la struttura è attaccata al soffitto, ovvero il punto O, così che la reazione vincolare del piano contrasti la forza di gravità e mantenga il sistema in equilibrio.
Allora abbiamo ottenuto un' altra informazione, cioè che O,V e V(1) sono allineati, come in figura:
Allora ci chiediamo qual è quella figura geometrica tale da cui, costruendo un tale parallelogramma partendo dai suoi lati, si ricavano 3 punti allineati come in figura.
La risposta che mi sono dato è che tale figura è il deltoide. Per giustificare tale risposta notiamo che gli angoli $A(1)VB(1) $ e $AVB$ sono complementari per costruzione. Inoltre si può facilmente dimostrare che i 2 triangoli $V(1)VB(1)$ e $AVB$ sono congruenti (anche se dal disegno non sembra
)Immaginiamo poi che la nostra costruzione sia una certa trasformazione, che trasforma A in A(1), B in B(1) e V in V(1). Allora notiamo che essa scambia le lunghezze di $AV$ e $BV$, in modo tale che $A(1)V(1)=BV$ e $B(1)V(1)=AV$. Da tutte queste informazioni deduciamo che la figura cercata è un deltoide.
Adesso ci domandiamo: di tutti i deltoidi con un dato perimetro ($AV+BV=L$ per ipotesi, quindi $2p=2L$), qual è quello di area massima?
Senza risolvere questo problema di massimo, riprendiamo il primo esperimento. Notiamo che la configurazione per cui l'espansione è massima deve essere unica, come unico è il punto di massimo di una funzione. Tuttavia ponendo $AV diverso BV$ vi sarebbero 2 soluzioni simmetriche. Il deltode cercato è quindi un rombo di lato $L/2$ e angolo $\Theta$
Con un po' di trigonometria otteniamo infine che l'area è $(L^2/4)sen(\Theta)$
Cosa ne pensate? Può andare come dimostrazione o è tutto sbagliato? Mi raccomando, se avete critiche, suggerimenti o soluzioni alternative fatevi sentire!
. Almeno la soluzione torna così?