tubetto

[@melia]

Avete presente un tubetto tipo quello del dentifricio o, meglio, di crema per le mani? Tipo quello in figura?

È ottenuto arrotolando un rettangolo in modo da formare un cilindro e poi schiacciandone una base.

La figura geometrica che si ottiene ha un nome specifico?

Come si può fare per calcolarne il volume?

[giammaria]

Mi incuriosiva apprendere la risposta, ma tutto tace da oltre una settimana. Agito quindi le acque inviando i miei calcoli; avviso però che alcuni punti non hanno vera base matematica e li segnalerò con qualche parola in rosso; vale inoltre l'obiezione che scriverò in fondo. La mia soluzione mi sembra però una discreta approssimazione della realtà ed il volume effettivo non dovrebbe differire molto da quello da me trovato.

In basso si ha la circonferenza lunga $2pir$; il segmento in alto vale quindi $pir$.
Le sezioni orizzontali del tubetto sono degli ovali che all'aumentare dell'altezza $z$ si allungano in un verso e si restringono nell'altro; viene spontaneo pensare che si tratti di ellissi col semiasse $a$ variabile da $r$ a $(pir)/2$ mentre il semiasse $b$ varia da $r$ a $0$.
I lati visibili del tubetto sembrano dritti, quindi suppongo che le variazioni avvengano in modo lineare; detta $h$ l'altezza del tubetto, con questa ipotesi si trova facilmente
${(a(z)=(r(pi-2))/(2h)z+r),(b(z)=-r/hz+r):}$
La superficie di un'ellisse è data da $piab$, quindi il volume richiesto è
$V=int_0^h pi a(z) b(z) dz=...=(pi(pi+4))/12r^2h~~1.87r^2h$

Obiezione
Una delle ipotesi del problema era che il contorno $c$ degli ovali fosse sempre lo stesso al variare di $z$. Il contorno di un'ellisse viene calcolato con un integrale definito che può essere scritto in vari modi; scelgo
$c=4int_0^(pi/2)sqrt(a^2sin^2phi+b^2cos^2phi)dphi$
Nel nostro caso si ha quindi
$c(z)=4int_0^(pi/2)sqrt(a^2(z)sin^2phi+b^2(z)cos^2phi)dphi$
e mi sembra quasi certo che il risultato dipenda da $z$, in contrasto con l'ipotesi.

[@melia]

Intanto grazie per le tue osservazioni.
Se noti come ho proposto la costruzione ti accorgi che i lati non sono dritti, ci facciamo imbrogliare dalla prospettiva, infatti se tagli il tubetto di crema trovi un rettangolo. Inoltre se provi a far passare il tubetto per un foro circolare con la misura della base o si deforma o non ci passa. Quello che resta costante è la misura del contorno dell'ellisse o di quello che anch'io avevo pensato di approssimare ad un'ellisse.
Le problematiche che hai esposto sono le stesse che ho incontrato io.
Vediamo se qualcuno riesce ad aggiungere qualcosa, altrimenti tra un'altra settimana provo a spostarlo su "Pensiamoci un po' di più".

[xXStephXx]

Non penso che si possa calcolare usando come unica variabile il raggio della base. E sospetto che pure l'altezza non sia sufficiente, visto che non ci dice come avviene la deformazione.

[coleridge]

Temo che il tubetto "vero" sia di un materiale un po' elastico, che si deforma. Se è così, non possiamo supporre che mantenga né le lunghezze, né le superfici. Senza fare pieghe (come nel classico tetrapak) può persino darsi che non si possa costruire un tubetto con materiale non elastico.

Comunque, se le lunghezze si mantengono, i "profili" non possono essere dritti. Cioè, se "righiamo" il cilindro con segmenti verticali, una volta costruito il tubetto le righe non sono più dritte. Infatti percorrono tutte la stessa distanza in verticale ma distanze diverse in orizzontale.

[giammaria]

Concordo con coleridge nel dire che il materiale deve essere un po' elastico; continuo ad usare questa parola anche se forse sarebbe meglio dire plastico, pensando alla distinzione fra elasticità e plasticità.
Effettivamente una lamiera totalmente priva di elasticità non può essere curvata perché ha uno spessore e curvandola si comprimerebbe la parte interna e dilaterebbe quella esterna; analogamente, non può essere raddrizzata se inizialmente era curva.
Anche ammettendo che la lamiera sia così sottile da rendere trascurabile questo fatto, resta la seconda osservazione, che preferisco vedere in questo modo: non possono coesistere le due ipotesi che la parte in alto sia rettilinea e che non ci sia elasticità. Infatti, detti $A$ un estremo del segmento ed $O$ il suo centro e detti $A',O'$ i loro corrispondenti sulla circonferenza in basso, nella prima ipotesi si ottiene $A A'!=OO'$. Deve quindi cadere almeno una delle due ipotesi e penso che siano parzialmente false entrambe; è inotre probabile che la macchina che effettua la chiusura in alto ne raddrizzi la curvatura (intendo quella nel piano del disegno).
A questo punto mi unisco al parere di xXStephXx: i dati forniti sono insufficienti.