Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

[MementoMori]

Ciao ragazzi avreste qualche suggerimento per risolvere questo problema?

Mostrare che, per ogni intero positivo fissato k, esiste almeno un intero n tale che:

100<=n^k+n<=101+k*n^(k-1)

Grazie ciaoo

[coleridge]

$$ 100 \leqslant n^k+n \leqslant 101 +kn^{k-1} $$
Io proverei prima a dimostrarlo quando k è "grande" e cercherei delle condizioni sufficienti per risolvere la seconda disequazione, confrontando termini "simili".

Ma davvero questa domanda era nel test di ammissione in Normale?

[MementoMori]

Si, si grazie, sono riuscito a risolverlo ieri sera, si era nel test per la Normale tra il 92-93 mi sembra. Perchè? Troppo facile?

[coleridge]

Più che altro è un po' bruttino: non vedo altra strada che risolvere a parte 3 o 4 casi particolari, il che non è particolarmente elegante.

[kobeilprofeta]

com'è la soluzione quindi?

[coleridge]

com'è la soluzione quindi?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per soddisfare la seconda disequazione basta prendere $n\leq k,101$. Sotto questa condizione abbiamo $n^k\geq n^n$, e siccome $4^4>100$ allora possiamo concludere che $n=4$ è una soluzione per qualunque $k\geq4$.
Infine si esibiscono a mano delle soluzioni per k=0 (n=100), per k=1 (n=50), per k=2 (n=10) e per k=3 (n=5).

[kobeilprofeta]

com'è la soluzione quindi?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per soddisfare la seconda disequazione basta prendere $n\leq k,101$. Sotto questa condizione abbiamo $n^k\geq n^n$, e siccome $4^4>100$ allora possiamo concludere che $n=4$ è una soluzione per qualunque $k\geq4$.
Infine si esibiscono a mano delle soluzioni per k=0 (n=100), per k=1 (n=50), per k=2 (n=10) e per k=3 (n=5).

ok,grazie