Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

Messaggioda MementoMori » 09/09/2015, 19:01

Ciao ragazzi avreste qualche suggerimento per risolvere questo problema?

Mostrare che, per ogni intero positivo fissato k, esiste almeno un intero n tale che:

100<=n^k+n<=101+k*n^(k-1)

Grazie ciaoo
" Si piange perché si è tristi. Per esempio, io piango perché gli altri sono stupidi e questo mi rende triste. "
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Re: Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

Messaggioda coleridge » 10/09/2015, 07:17

$$ 100 \leqslant n^k+n \leqslant 101 +kn^{k-1} $$
Io proverei prima a dimostrarlo quando k è "grande" e cercherei delle condizioni sufficienti per risolvere la seconda disequazione, confrontando termini "simili".

Ma davvero questa domanda era nel test di ammissione in Normale?
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Re: Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

Messaggioda MementoMori » 10/09/2015, 14:05

Si, si grazie, sono riuscito a risolverlo ieri sera, si era nel test per la Normale tra il 92-93 mi sembra. Perchè? Troppo facile?
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Re: Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

Messaggioda coleridge » 10/09/2015, 15:56

Più che altro è un po' bruttino: non vedo altra strada che risolvere a parte 3 o 4 casi particolari, il che non è particolarmente elegante.
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Re: Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

Messaggioda kobeilprofeta » 13/09/2015, 15:01

com'è la soluzione quindi?
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Re: Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

Messaggioda coleridge » 15/09/2015, 22:45

kobeilprofeta ha scritto:com'è la soluzione quindi?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per soddisfare la seconda disequazione basta prendere $n\leq k,101$. Sotto questa condizione abbiamo $n^k\geq n^n$, e siccome $4^4>100$ allora possiamo concludere che $n=4$ è una soluzione per qualunque $k\geq4$.
Infine si esibiscono a mano delle soluzioni per k=0 (n=100), per k=1 (n=50), per k=2 (n=10) e per k=3 (n=5).
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Re: Problema presente all'interno del test di ammissione per SNS

Messaggioda kobeilprofeta » 16/09/2015, 10:26

coleridge ha scritto:
kobeilprofeta ha scritto:com'è la soluzione quindi?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per soddisfare la seconda disequazione basta prendere $n\leq k,101$. Sotto questa condizione abbiamo $n^k\geq n^n$, e siccome $4^4>100$ allora possiamo concludere che $n=4$ è una soluzione per qualunque $k\geq4$.
Infine si esibiscono a mano delle soluzioni per k=0 (n=100), per k=1 (n=50), per k=2 (n=10) e per k=3 (n=5).



ok,grazie
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