Sia $N={0,1,2,...,N-1}$ e $f: N \rightarrow N$ biiettiva, si può dimostrare che l'insieme delle funzioni biiettive $F={f| f:N \rightarrow N}$ rispetto all'operazione di composizione forma un gruppo...cos'è un gruppo?
Un gruppo è un insieme (in questo caso $F$ su cui è definita un operazione binaria, nel nostro caso $• : F×F \rightarrow F$, cioè ad ogni coppia $(f,g) \in F×F$ un unico elemento $h \in F$. L'insieme in questione dovrà soddisfare certi assiomi rispetto all'operazione per definirsi un gruppo, questi sono:
1) L'associatività ($f•(g•h)=(f•g)•h$)
2) Esistenza elemento neutro ($EE Id|f•Id=f \forall f\in F$)
3) Esistenza dell'inverso ($\forall f \in F, EE f^{-1} |f•f^{-1}=Id$)
Inoltre diremo che un elemento ha ordine $n$ se $n$ è il più piccolo naturale tale che $f^n=Id$.
Detto questo si dimostri che $(F,•)$ è un gruppo, e si trovino tutte le funzioni $f^2=Id$.