Fattorizzazione

[sprmnt21]

Fattorizzare la seguente espressione:

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$

[Zero87]

Ci credo poco che ci ho preso; in genere con i calcoli sono proprio negato.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Innanzitutto opero un raccoglimento parziale del tipo $x^3+y^3+z^3=(x^3+y^3)+z^3$ scomponendo la prima somma di cubi
$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 = $
$=[(a-b)+(b-c)][(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2]-(a-c)^3=$
$=(a-c)[(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2]$
Il primo termine è andato, me lo tengo da parte ma vedo il secondo.
$(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2=(a^2+b^2-2ab)-(ab-ac-b^2+bc)+(b^2+c^2-2bc)-(a^2+c^2-2ac)=$
$=3b^2-3ab+3ac-3bc=3[b(b-c)-a(b-c)]=3(b-c)(b-a)$
dunque
$ (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-c)(b-c)(b-a)$.

Sono un tantinello fuori quota per fare le superiori...

[sprmnt21]

Ci credo poco che ci ho preso; in genere con i calcoli sono proprio negato.

ci hai preso in pieno invece.
Ci sono altri modi (ne ho trovati un paio), un po' più spediti per arrivare al risultato.