Successione definita per ricorrenza e serie

[dan95]

Sia $a_n$ una successione per ricorrenza definita come:

${(a_0=2),(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1):}$

Dimostrare che
$$\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{a_i}=1$$

Suggerimento:

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Si dimostri (per induzione) che
$\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{a_i}=1-\frac{1}{a_n^2-a_n}$

[orsoulx]

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Per induzione si dimostra che \[ 1-\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{a_i}=\frac {1}{a_{n+1}-1} \].
La relazione è verificata per n=0 e
\[ 1-\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{a_i} = 1-\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_n} =\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_n} = \frac{1}{{a_n}^2-a_n}=\frac{1}{a_{n+1}-1}\]
Dove, nella seconda uguaglianza è vera l'ipotesi induttiva.
Essendo la successione \[{a_n}\] divergente è provata la tesi.

Ciao
B.

[dan95]

Bravo!