Vediamo...
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Un'idea (più o meno formalizzata): siccome \(f\) è continua (anche) in \(x=1\) si ha che, fissato \(\epsilon >0 \), \[|f(1) - f(x^{2n})| < \epsilon \] per ogni \(x \in [1, 1+\delta(\epsilon)]\) e ogni \(n \in \mathbb{N}\), con \(\delta(\epsilon)>0\). Se poi \(g_n (x) = x^{2n}\) allora \( g_n ([1,1+\delta]) =[1,(1+\delta)^{2n}]\) per il teorema dei valori intermedi; siccome poi \( (1+\delta)^{2n} \to \infty\) per \(n \to \infty\) si ottiene che \[ |f(1) - f(y)| < \epsilon \] per ogni \(y \in [1,+\infty)\). Si conclude per l'arbitrarietà di \(\epsilon\).
Il caso in \([0,1]\) si fa sfruttando la continuità di \(f\) in \(0\).