Risoluzione di un equazione con esponenziali

[Dezzo93_it]

Ciao a tutti, non so da dove sia tratta, ma bisogna certamente scervellarsi un po'....

Si tratta di risolvere

\( (\sqrt{3})^x=x^\sqrt{3}\)

Una soluzione è ovvia... ma ce n'è un'altra...

Come trovarla? (In maniera esatta, non numerica...)

[axpgn]

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$x=3*sqrt(3)$


$sqrt(3)^(3*sqrt(3))=(sqrt(3)^sqrt(3))^3=(sqrt(3)^sqrt(3))^3/sqrt(3)^sqrt(3)*sqrt(3)^sqrt(3)$

$(sqrt(3)^sqrt(3))^2*sqrt(3)^sqrt(3)=(sqrt(3)^2)^sqrt(3)*sqrt(3)^sqrt(3)=3^sqrt(3)*sqrt(3)^sqrt(3)=$

$=(3*sqrt(3))^sqrt(3)$

[Dezzo93_it]

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$x=3*sqrt(3)$


$sqrt(3)^(3*sqrt(3))=(sqrt(3)^sqrt(3))^3=(sqrt(3)^sqrt(3))^3/sqrt(3)^sqrt(3)*sqrt(3)^sqrt(3)$

$(sqrt(3)^sqrt(3))^2*sqrt(3)^sqrt(3)=(sqrt(3)^2)^sqrt(3)*sqrt(3)^sqrt(3)=3^sqrt(3)*sqrt(3)^sqrt(3)=$

$=(3*sqrt(3))^sqrt(3)$

Si, è quella.... Ma come l'hai dedotta/trovata?

[axpgn]

Eh, a intuito ... e poi ho dimostrato che fosse proprio quella ... non saprei di preciso ma penso che non esistano metodi "scolastici" per la risoluzione ...

[.Ruben.]

Trasformo l'equazione in: $x log( \sqrt{3}) = \sqrt{3} ln(x)$
Studiando questa funzione, deduco che le soluzioni sono solo 2(una è $\sqrt{3}$, e l'altra è ancora ignota).
Ora, data l'equazione, è facile supporre che la soluzione è una potenza di 3; poichè è un'equazione piena di radicali quadratici, è facile supporre che sarà una potenza con un radicale quadratico.
Pongo quindi $x=3^{y/2}$, da cui: $3y^2=3^y$, ossia: $y^2 = 3^{y-1}$
Dato che la y che cerco è unica, posso restringere la ricerca alle y naturali.
Nei naturali si trovano subito $y=1$ (ossia $x=\sqrt{3}$) e $y=3$ (ossia $x = 3 * \sqrt{3}$)

[orsoulx]

Simpatico quesito! Mi permetto un rilancio.
L'equazione $ x^y=y^x $ con $ x ne y $ ha una sola soluzione intera due sole coppie di soluzioni intere: $ {x, y}={2,4} $ e.... Esistono, invece, infinite soluzioni razionali; quali possono essere?
Ciao

[axpgn]

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Forse intendi ${-2,-4}$ ?

[Erasmus_First]

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[...] risolvere
\( (\sqrt{3})^x=x^\sqrt{3}\)
Una soluzione è ovvia... ma ce n'è un'altra...

Ho fatto una paginetta di studio dell'equazione $x^y = y^x$ (per x ed y reali, positivi) e distinti.

–––> x^y = y^x.png

___

[orsoulx]

Certo Alex, i puntini di sospensione stanno al posto dell'altra soluzione a valori interi che hai trovato. Ho dovuto editare il messaggio, perché inizialmente non ci avevo pensato. Per le soluzioni razionali è ottima la soluzione di Erasmus_First, che considera, però solo le soluzioni positive.
Ciao