Dato che questo quiz me lo sono inventato io, spiego come l'ho pensato (
spiattellandolo dettagliatamente
).
Poi ... liberi di pensare (ed esprimere) qualunque vostra personale riflessione!
Parto dal quadrilatero
ABCD a forma di trapexio rettangolo.
Il lato
AD (di lunghezza
h per ora incognita) perpendicolare alle basi – la maggiore
AB di lunghezza $2a$ e la minore
DC di lunghezza $a$ – lo penso immobile mentre giro la base minore attorno a
D ampliando l'angolo in
D da angolo retto ad angolo piatto. Di conseguenza ruota anche la base maggiore.
Il punto
C descrive un quarto di circonferanza di centro
D e raggio uguale alla base minore, cioè $a$.
Il punto
B descrive un arco di circonferenza di centro
A e raggio uguale alla base maggiore, cioè $2a$.
Siccome la lunghezza
h di
AD è tale che gli archi descritti da
A e da
B sono di uguale lunghezza, l'angolo di cui ruota
AB è metà dell'angolo di cui ruota
DC. E siccome
DC ruota di un angolo retto,
AB ruota di mezzo angolo retto. In tal modo il trapexio rettangolo ABCD si trasforma nel triangolo ABC (e quello che era il vertice
D diventa un punto interno al nuovo segmento
AC distante $h$ da
A e $a$ da
C). Il nuovo triangolo
ABC ha l'angolo nel vertice
A ampio mezzo angolo retto. I lati di questo angolo sono lunghi:
AC = $h + a$;
AB = $2a$;
e il lato opposto è lungo:
BC = $sqrt(a^2 + h^2)$.
Applicando il teorema di Carnot al [nuovo] triangolo
ABC rispetto all'angolo in
A (ampio mezzo angolo retto), cioè con l'uguaglianza:
$AC^2 + AB^2 - 2·AC·AB·cos(45°) = BC^2$
ricavo (e risolvo) la seguente equazione (nell'incognita $h$):
$(h+a)^2 + (2a)^2 - 2(h+a)(2a)sqrt2/2 =a^2+h^2$ ⇔
⇔ $a^2 + h^2 + 2ah - 2sqrt(2)a(a+h) = a^2 + h^2$ ⇔ $(sqrt2 - 1)h = (2 - sqrt2)a$ ⇔ $h = sqrt2 a$.
Senza scomodare Carnot, osservo che, dopo la rotazione di un angolo retto del lato
DC e di mezzo angolo retto del lato
AB, la perpendicolare ad
AD per la nuova posizione di
B interseca
AD in un punto – che chiamo
H – formando in tal modo il triangolo
HBC rettangolo in
H nel quale:
• un cateto è
HB di lunghezza $sqrt2a$;
• l'altro cateto è
HC di lunghezza $a + h - sqrt2a$;
• l'ipotenusa è
BC di lunghezza $sqrt(a^2+h^2)$,
Pertanto, col Teorema di Pitagora ho l'equazione (nell'incognita $h$):.
$(a+h - sqrt2a)^2 + (sqrt2a)^2 = a^2 + h^2$
risolvendo la quale trovo
$h=sqrt2a$.
L'allineamento della nuova posizione di
B con
D e con la vecchia posizione di
C [detta
C' nella mia figura illustrativa, allineamento che risalta subito nella figuira di
veciorik] è conseguenza del fatto che risulta
$h = sqrt2a$
(e non viceversa).
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