Un luogo geometrico

[massimoaa]

Dato un triangolo ABC, siano M ed N, rispettivamente, i punti medi dei lati AB,AC.
Determinare il luogo descritto dal punto medio P di MN al variare di A sul circocerchio
di ABC .
Essendo i dati generici penso più ad una risoluzione sintetica piuttosto che ad una algebrica.
Vedete un po'...

[orsoulx]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Detta $ \gamma $ la circonferenza per ABC e G il suo centro; il luogo cercato è la circonferenza di centro il punto medio fra G ed il punto medio di BC e diametro uguale al raggio di $ \gamma $.
Una possibile dimostrazione consiste nell'osservare che M ed N descrivono due circonferenze congruenti di diametro rispettivamente BG e CG, ed il segmento che li unisce è parallelo ad AB. Anche P descriverà allora una circonferenza congruente alle precedenti con centro nel punto medio dei loro centri.

@massimoaa:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

guarda che è un tuo diritto richiedere che un problema venga risolto con gli strumenti che preferisci. Non lasciarti intimidire dagli sproloqui di Erasmus: in fondo è cortese anche se non lo sembra.

Ciap

[teorema55]

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Penso che sia una circonferenza concentrica con quella circoscritta al triangolo $ABC$ e raggio $r=PQ$, dove $Q$ è il circocentro del triangolo, cioè il punto di intersezione degli assi dei lati dello stesso. Ritengo anche che lo stesso risultato si ottenga non mantenendo fissa la circonferenza circoscritta ad $ABC$ o (che è la stessa cosa) permettendo al punto $A$ di muoversi liberamente.
Ovviamente identica situazione si avrebbe muovendo liberamente anche i punti $B$ o $C$.
Si noti inoltre che il segmento $MN$ è sempre parallelo al lato $BC$

Ciao.

Marco

[Erasmus_First]

Dato un triangolo ABC, siano M ed N, rispettivamente, i punti medi dei lati AB,AC.
Determinare il luogo descritto dal punto medio P di MN al variare di A sul circocerchio
di ABC .
Essendo i dati generici penso più ad una risoluzione sintetica piuttosto che ad una algebrica.
Vedete un po'...

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Sia $a$ un reale positivo. Nel piano cartesiano di origine $O(0.0)$ metto:
• $A$ in $(x_A, y_A) = (-a, 0)$,
• $B$ in $(x_B, y_B) = (a, 0)$ e
• $C$ in $(x, y)$ con $x$ e $y$ qualsiasi purché sia $y ≠ 0$
In tal modo le coordinate di M ed N sono (rispettivamente):
$(x_M, y_M) = ((x+a)/2, y/2)$;
$(x_N, y_N) = ((x-a)/2, y/2)$.
sicché le cordinate di P risultano:
$x_P = (x_M + x_N)/2 = x/2$;
$y_P = (y_M + y_N)/2 = y/2$.
Dunque $P$ è il punto medio del segmento che ha per estremi il punto $C$ e il punto medio del segmento di estremi A e B (da me assunto, solo per comodità, origine $O(0, 0)$ degli assi cartesiani).
Se allora si fanno variare le coordinate di $C$ in modo che $C$ descriva una qualunque [determinata] curva (nel piano di $ABC$), il punto $P$ descrive la curva simile che corrisponde a quella descritta da $C$ nell'omotetia di centro $O$ e rapporto OC/OP = 2.
In particolare, se $C$ descrive una circonferenza $P$ descrive pure una circonferenza (di raggio metà di quella descritta da $C$ e centro distante da $O$ metà della distanza da $O$ del centro della circonferenza descritta da $C$).

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[massimoaa]

Ottime soluzioni. Complimenti!

[orsoulx]

@massimoaa:
mi pare improbabile che tre risultati diversi siano tutti esatti.
Ciao

[Erasmus_First]

Oops!
Mi accorgo solo ora che nel testo originaLe il vertice del triangolo ABC che variando descrive una circonferenza non è C ma A.
Correggo allora la mia precedente risposta scambianto soltanto tra loro $A$ e $C$ (e lasciando invariato tutto il resto),
Ma, assecondando un consiglio di axpgn, non vado a modificare il mio precedente messaggio. Metto invece qua di seguito il testo corretto.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dato un triangolo ABC, siano M ed N, rispettivamente, i punti medi dei lati AB, AC.
Determinare il luogo descritto dal punto medio P di MN al variare di A sul circocerchio
di ABC [...]

Sia $a$ un reale positivo. Nel piano cartesiano di origine $O(0.0)$ metto:
• $C$ in $(x_C, y_C) = (-a, 0)$,
• $B$ in $(x_B, y_B) = (a, 0)$ e
• $A$ in $(x, y)$ con $x$ e $y$ qualsiasi purché sia $y ≠ 0$
In tal modo le coordinate di M ed N sono (rispettivamente):
$(x_M, y_M) = ((x+a)/2, y/2)$;
$(x_N, y_N) = ((x-a)/2, y/2)$.
sicché le cordinate di P risultano:
$x_P = (x_M + x_N)/2 = x/2$;
$y_P = (y_M + y_N)/2 = y/2$.
Dunque $P$ è il punto medio del segmento che ha per estremi il punto $A$ e il punto medio del segmento di estremi C e B (da me assunto, solo per comodità, origine $O(0, 0)$ degli assi cartesiani).
Se allora si fanno variare le coordinate di $A$ in modo che $A$ descriva una qualunque [determinata] curva (nel piano di $ABC$), il punto $P$ descrive la curva simile che corrisponde a quella descritta da $A$ nell'omotetia di centro $O$ e rapporto OA/OP = 2.
In particolare, se $A$ descrive una circonferenza $P$ descrive pure una circonferenza (di raggio metà di quella descritta da $A$ e centro distante da $O$ metà della distanza da $O$ del centro della circonferenza descritta da $A$).

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[/quote]

[axpgn]

Brao! Così si fa

[teorema55]

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Non sono d'accordo con le vostre costruzioni, amici. Come al solito, dopo il lavoro, posterò la mia

Cordialmente.

Marco

[Erasmus_First]

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Penso che sia una circonferenza concentrica con quella circoscritta al triangolo $ABC$ [...]

Solo se BC è un diametro (ovvero: solo se l'angolo in A è retto).
Accontento massimoaa (e orsoulx) ... evitando scrupolosamente di proferire parole come "equazioni" e "incognite"!
Il triangolo AMN è simile al triangolo ABC e i lati di AMN sono metà dei corrispondenti lati di ABC. Sia O il punto medio di BC. Sicccome M sta su AB ed N sta su AC, sono pure allineati A, P e O. Insomma: P sta sulla mediana AO di ABC e dista ugualmente da A e da O. Ecco allora che se sgangheri ABC portando a spasso il vertice A [fissi restando però i vertici B e C) viene evidenziata l'omotetia di centro O e rapporto OA/OP = 2. [*]
In ogni coppia di punti corrispondenti in questa omotetia le distanze dal centro O sono una doppia dell'altra; quindi anche quelle dei due "cicocentri" delle circonferenze descritte rispettivamente da A e da P. Il circocentro di ABC coincide col circocentro di PBC solo se ABC è rettangolo in A (perché allora entrambi i circocentri coincidono col centro O dell'omotetia (punto medio del lato fisso di estremi B e C),
[$2·0 = 0$ ].

[*]
[Ti riricordi come funzionavano i "pantografi"? Probabilmente no, perché ti penso non sufficientemente anziano!
Beh: servivano a fare una copia di un disegno "in scala". Avevano un "fulcro" che restava fisso mentre una punta (non scrivente) veniva fatta percorrere un determinato percorso ed un'altra punta "scrivente" disegnava una curva simile a quella percorsa dalla punta non scrivente).
–––> Pantografo (grafica). [Wikipedia]

Pantografo

Il pantografo di figura "ingrandisce", (cioè: la punta scrivente – in verde nella figura – è più lontana dal "fulcro" della punta non scrivente che pervcorre la linea – in rosso nella figura – da copiare "in scala". Scambia le punte, mettendo quella non scrivente lontana dal punto fisso e quella scrivente tra il punto fisso e la punta non scrivente.

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