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considero la retta affine in cui considero fissato $R(O,vec(e))$ con $||e||=1$
Siano $P_1,...,P_n$ punti di $RR$ tali che abbiano coordinate $P_(j)(x_j),forallj=1,..,n$
Senza ledere la generalità suppongo che $x_1leqx_2leq...leqx_n$ poiché a meno di una successione di scambi, rienumerando gli $x_j$ il problema si dimostra essere lo stesso.
Dunque sia $P(x)$ un punto variabile della retta e considero $forallj=1,..,n$ la distanza $vec(d_k(x))=vec(P_jP)(x-x_j)$ dunque il problema si riduce nel minimizzare $sum_(k=1)^(n)||d_k(x)||$ ovvero i vettori spostamento.
Posto $S(x)=sum_(k=1)^(n) |x-x_k|$ noto che $S:RR->RR$ è una funzione continua su tutto $RR$. Inoltre noto che posto $X-{x_1,...,x_n}$ la funzione $f:X->RR$ è anche derivabile. $S’(x)=sum_(k=1)^(n)sign(x-x_k)$
Ora se $n$ è pari abbiamo che essendo la funzioni segno variabili tra $1,-1$ allora per annullarsi devo avere la stessa quantità di $1,-1$ e questo accade se e solo se $x in(x_(n/2-1),x_(n/2+1))$ (questa proprietà la possiamo considerare dopo aver supposto i punti allineati).
Se $n$ è dispari allora non assume mai un minimo in quel dominio. Ragionando sul segno avremo sempre un $1$ o $-1$ in più rispetto all’altro, dunque almeno uno degli addendi deve essere nullo e questo è vero se e solo se $x$ è il punto ‘nel mezzo’.
Volevo formalizzarla un po’ meglio ma sto scoppiando dal sonno, quindi casomai lo edito domani.
So che usare vettori e analisi in questa sezione è un po’ esagerato, però ho visto che gli altri hanno già dato risposte e penso siano diverse.