SNS 2017 n.5

[.Ruben.]

Una formica puntiforme si muove sul piano cartesiano, partendo dal punto A = (1, 0), e vuole raggiungere il punto B = (2, 0).
E' però vincolata a muoversi su una pedana della forma di un anello centrato in (0, 0) di raggi 1 e 2 e, relativamente ad essa, si può muovere con velocità unitaria in direzione qualsiasi.
La pedana ruota in senso antiorario con velocità uniforme in modo da compiere \( \displaystyle \omega \) giri in un tempo unitario, con \(\displaystyle 0 \leq \omega \leq 1 \). Qual è il tempo minimo \(\displaystyle T(\omega) \), in funzione di \(\displaystyle \omega \), che serve per raggiungere B?
Nota: il cammino più breve sull'anello che congiunge due punti che si trovano sul bordo interno dell'anello è l'arco di cerchio di lunghezza minima che li congiunge.

[Erasmus_First]

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Una formica [...] E' però vincolata a muoversi su una pedana della forma di un anello centrato in (0, 0) di raggi 1 e 2

Non si capisce ... Pardon:[ b]io[/b] non ci capisco un tubo!

_______

[axpgn]

@Erasmus

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È fatta così ...

La formica deve andare da $A$ a $B$, che sono punti fissi ma la pedana invece gira ...

[.Ruben.]

@Erasmus

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È fatta così ...

La formica deve andare da $A$ a $B$, che sono punti fissi ma la pedana invece gira ...

Esattamente

Nessuna idea sulla soluzione??

[dan95]

Non vorrei dire frescacce

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$T(\omega)=\sqrt{frac{1-\sqrt{1-4\omega^2}}{2\omega^2}$

[.Ruben.]

Non vorrei dire frescacce

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$T(\omega)=\sqrt{frac{1-\sqrt{1-4\omega^2}}{2\omega^2}$

Non so se è giusto...
Come ci sei arrivato?

E se ω é 0?

[axpgn]

Beh, tanto se è zero o uno, il tempo impiegato è il minimo assoluto

[dan95]

In ogni istante la formica deve cambiare la sua direzione restando sempre nel segmento che congiunge A e B in modo da compensare la velocità tangente $v=\omega r$

[orsoulx]

Probabilmente il quesito sarebbe già risolto da tempo se fosse stato postato nella stanza dei fisici: mal che vada una lapidaria sentenza di Vulplasir avrebbe 'illuminato' il percorso. Procederei nel seguente modo.

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Calcolo il tempo minimo che occorre alla formica per raggiungere un punto qualsiasi del bordo esterno della corona circolare, pensata ferma.
Indicando con $ P(2cos \phi, 2 sin \phi) $ il punto in questione abbiamo due casi:
a) la formica 'vede' (immaginiamo che un cilindro, l'asse della giostra, le impedisca di guardare attraverso il cerchio mancante) il punto e può, allora, descrivere un percorso rettilineo di lunghezza $ l(\phi)=sqrt(5-4cos \phi) $, impiegando, vista la velocità unitaria, il medesimo tempo $ t(\phi)=l(\phi)$. Questo è possibile quando $ (0<=\phi<=\pi/3) vv (5/3 \pi<=\phi<=2 \pi) $.
b) la formica non vede il punto e deve allora percorrere un arco della circonferenza interna del rondellone, fino a quando dal suo orizzonte sorge l'obiettivo, che può essere raggiunto con un ulteriore percorso rettilineo di lunghezza $ sqrt 3 $, sarà:
$ t(\phi)= \phi-\pi/3+sqrt(3) $ se $ \pi/3< \phi <= \pi $ (la formica si muove, rispetto alla piattaforma con verso antiorario)
$ t(\phi)= -\phi+5/3\pi+sqrt(3) $ se $ \pi< \phi <5/3 \pi $ (movimento in verso orario).
Questo tempo minimo sarò anche la soluzione del quesito, quando, nel frattempo, la rotazione della piattaforma porterà il punto obiettivo a coincidere con $ B $, cioè quando $ \phi=2 \pi (1-\omega)t $.
I calcoli, che mi paiono semplici nei casi (b), ma non nei casi (a), ve li fate voi.
La formica dovrà muoversi (rispetto alla piattaforma) in verso orario per frequenze non maggiori di $ 1-3/(4 \pi + 6 sqrt(3))=0.869...$. Sarà $ 1<= t_m<=2/3 \pi+sqrt(3)=3.826... $. Salvo errori.

Ciao

[.Ruben.]

La soluzione mi sembra buona, complimenti!
È strano che alla Normale una cosa del genere sia stata somministrata per Matematica