Terne pitagoriche e cubi

[Cantor99]

Considera tutte le terne pitagoriche primitive $(x,y,z)$ (sia $z>y>x$): quante di queste sono tali che $x+z$ o $y+z$ è un cubo perfetto?

[orsoulx]

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Un'infinità numerabile per ciascuno dei due casi.

Ciao

[Cantor99]

@orsoulx

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In base alla mia soluzione (che potrebbe essere sbagliata) l'uniche terna primitiva è $(3,4,5)$.
Me ne faresti vedere un'altra?

[orsoulx]

...faccela vede, faccela t...

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una per tipo: 32, 255, 257; 27, 364,365.

Ciao

[Cantor99]

@orsoulx ho corretto l'errore della mia dimostrazione. Se ti va vedi se ha senso il ragionamento:))

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Se $(x,y,z)$ è una terna pitagorica primitiva esistono interi $p$,$q$ coprimi tali che $x=p^2-q^2$, $y=2pq$ e $z=p^2+q^2$.
Dunque $x+z=2p^2$ $(i)$ e $y+z=(p+q)^2$ $(ii)$
Nel primo caso dobbiamo trovare $k$ intero tale che $2p^2=k^3$. $k^3$ è pari e si può scrivere come $8h^3$ per $h<=k$. Dunque $2p^2=8h^3$ cioè $p^2=4h^3$. Anche $p^2$ è pari e, in particolare, è multiplo di 4, cioè esiste $l<=p$ tale che $p^2=4l^2$.
La $(i)$ diventa $l^2=h^3$ che ha soluzione $l=m^3$ e $h=m^2$ (io l'avevo risolta con $h=l=1$ pervenendo ad una sola soluzione)
Andando a ritroso si ha $k=8m^6$ e $p^2=4m^6$ e $p=2m^3$.
Tutte le terne per cui $x+z$ è un cubo perfetto sono quelle per cui $p=2m^3$
Per la $(ii)$ si segue lo stesso ragionamento e si perviene alla condizione $p+q=n^3$.
Le tue soluzioni (sperando di non essermi imbrogliato) le ho, la prima (che è nella forma $(i)$) per $(p,q,m)-=(16,1,2)$ mentre la seconda (del tipo $(ii)$) la ho per $(p,q,n)-=(14,13,3)$

Grazie

[orsoulx]

@Cantor99,

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sinceramente non so se quanto affermi è corretto, mi pare manchino le condizioni di coprimalità.
Io ho ragionato in questo modo:
caso 1
$ 2m^2$ deve essere un cubo, quindi $ m $ deve essere il doppio di un cubo ed allora $ n<m $ deve essere dispari è privo di divisori comuni con $ m $

caso2
$ (m+n)^2 $ deve essere un cubo, quindi $ m+n $ deve essere il cubo di un dispari ed allora il cubo in questione deve essere ripartito fra $ m $ ed $ n $, badando che $ m>n$ e non abbiano fattoti in comune.
Ad esempio con $ 27=3^3 $ sono possibili le seguenti coppie $(n,m) rightarrow (1,26),(2,25),(4,23),(5,22), (7,20), (8,19), (10,17),(11,16),(13,14) $

Prego e ciao

[orsoulx]

@Cantor99,

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Questa terna (e le infinite altre con la medesima proprietà) 46500, 53851, 71149 a quale caso appartiene?

Ed allora vien da chiedersi: esistono terne pitagoriche nelle quali la somma di due lati qualsiasi sia sempre un cubo?
Ciao

[Cantor99]

Che esistano terne tali che $x+z$ e $y+z$ sia un cubo è assodato basta unire le precedenti condizioni, quindi prendere due interi $p$ e $q$ tali che $p+q=m^3$ e $p=2n^3$ con $m$ dispari. Tipo $(135,352,377)$ che si ottiene per $m=3$ e $n=2$.
Ora non so come provare che $x+y$ può essere un cubo, ci devo pensare

[orsoulx]

@Cantor99;
il mio non era un quiz, ma una domanda che mi sono posto e di cui non conosco la risposta.
Ciao

[Erasmus_First]

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@ orsoulx
Canto99 propone di cercare le terne pitagoriche primitive nelle quali la somma dell'ipotenusa col cateto minore o la somma dell'ipotenusa con cateto maggiore è il cubo di un intero. Scrive infatti:

Considera tutte le terne pitagoriche primitive $(x,y,z)$ (sia $z>y>x$): quante di queste sono tali che $x+z$ o $y+z$ è un cubo perfetto?

[...] una per tipo: 32, 255, 257; 27, 364,365 [...]

Nella prima terna è la somma dell'ipotenusa con il caterto dispari che è il cubo di un intero, [$255+257 =512 = 8^3$]; nella seconda cubo di un intero la somma dell'ipotenusa col cateto pari, [$364+365 = 729 = 9^3$]. In entrambe le terne è la somma dell'ipotenusa col cateto maggiore che è il cubo di in intero.
I due tipi di ciascuno dei quali fai un esempio – perdonami la pignoleria : – non sono quelli che intendeva Cantor99.

[...] 46500, 53851, 71149

Bellissima!
[$46500+71149 = 117649=49^3$; $53851 + 71149 =125000=50^3$]
Hai unificato le coppie di tipi! Quelli di Cantor99 [cateto minore o cateto maggiore] ed i tuoi [cateto dispari o cateto pari].
Ciao, ciao.

–––––––––––––––––––––––––––––

[...] $(135,352,377)$ [...]

Bellissima anche questa!
Anche più bella di quella di orsoulx perchè con numeri molto minori.
[Terna pitagorica primitiva (x, y, z) in cui tanto x + z quanto y + z sono cubi di un intero: $x+z=512 = 8^3$ e $y+z = 729=9^3$].

[...] non so come provare che $x+y$ può essere un cubo, ci devo pensare

Basta esibire un esempio!
Ecoone uno: $[x, y, z] = [155, 12012, 12013]$. Vedi che $x+y = 12167 = 23^3$.
Ciao Cantor99, ciao a tutti.
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