Diviso $7$

[axpgn]

Quanti interi positivi $n<=10.000$ ci sono tali per cui la differenza $2^n-n^2$ NON è divisibile per $7$ ?

Cordialmente, Alex

[.Ruben.]

7142 forse?

[orsoulx]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La differenza è divisibile per $ 7 $ quando $ n $ diviso per $ 21 $ ha resto $ 2, 4, 5, 6, 10, 15 $; perciò è corretta la risposta di Ruben, che potrebbe anche utilizzare lo spoiler.

Ciao

[axpgn]

Eccone un altro simile ...

Quante coppie differenti di interi (compresi fra $1$ e $1000$ ) ci sono tali per cui $m^2+n^2$ sia divisibile per $49$ ?

Non considero diverse le coppie $(m,n)$ e $(n,m)$.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Nelle classi di resto modulo $ 49 $ i quadrati sono pochini e nessuna somma fra due qualsiasi di questi è zero, tranne quando i due quadrati siano entrambi $ 0 $ provengano, cioè, da multipli di $ 7 $. Fra uno e mille i multipli di $ 7 $ sono $ 142 $, dunque
le possibili combinazioni dovrebbero essere $ 143 cdot 71= 10153 $.

Ciao

[axpgn]