E che ci vuoi fare ...
...
Ho pensato questo ...
Dato
$N=p_1^(e_1)*p_2^(e_2)*...*p_n^(e_n)$, ogni sua scomposizione in tre fattori sarà così
$(p_1^(e_(11))*p_2^(e_(21))*...*p_n^(e_(n1)))*(p_1^(e_(12))*p_2^(e_(22))*...*p_n^(e_(n2)))*(p_1^(e_(13))*p_2^(e_(23))*...*p_n^(e_(n3)))$con
$e_(i1)+e_(i2)+e_(i3)=e_i$.
Di queste "addizioni" ce ne dovrebbero essere, per ciascun primo $P_i=((e_i+1)(e_i+2))/2$ e quindi le scomposizioni totali saranno $T=P_1*P_2*...P_n$, però
ordinate.
Se $N$ è un cubo allora esisterà una e una sola scomposizione in cui i tre fattori saranno uguali, altrimenti no.
Se due fattori sono uguali allora avremo tre scomposizioni "simili" e due da scartare; in tal caso avremo una situazione di questo tipo:
$(p_1^(e_(1x))*p_2^(e_(2x))*...*p_n^(e_(nx)))*(p_1^(e_(1x))*p_2^(e_(2x))*...*p_n^(e_(nx)))*(p_1^(e_1-2*e_(1x))*p_2^(e_2-2*e_(2x))*...*p_n^(e_n-2*e_(nx)))$
con $e_(ix)$ che varia da $0$ a $\lfloor e_i/2 \rfloor $, perciò le scomposizioni di questo tipo sono $S=(\lfloor e_1/2 \rfloor +1) * (\lfloor e_2/2 \rfloor +1) * ... * (\lfloor e_n/2 \rfloor +1) $ il tutto da dividere per tre (sottraendo uno oppure no se $N$ è un cubo oppure no).
Se i tre fattori sono diversi allora avremo sei situazioni simili da cui concludendo le scomposizioni non ordinate sarebbero $(T-3S)/6+S$ (invece se $N$ è un cubo $(T-3S-1)/6+S+1$)
Forse ...