Terne pitagoriche primitive con lo stesso cateto dispari

[Erasmus_First]

Quante (e quali) sono le terne pitagoriche primitive – diciamole [x, y, z] – con il "cateto" dispari che vale 15015 ?
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[axpgn]

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Dovrebbero essere $16$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

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E per il secondo cateto questa dovrebbe essere la lista:

$4.712$
$9.472$
$16.048$
$24.568$
$35.752$
$73.352$
$91.408$
$102.968$
$255.392$
$500.888$
$666.928$
$931.552$
$2.300.488$
$4.508.992$
$12.525.008$
$112.725.112$

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

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E per il secondo cateto questa dovrebbe essere la lista:[...]

Il quiz ... non l'avevo ancora risolto!
Ma vedo che va bene sia il cateto pari minimo – (143^2 - 105^2)/2 – che quello pari massimo – (15015^2 - 1)/2 –.
[«Ma come è bravo Li!» ]
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A 'n vedi, Alex, l'associazione di idee col tuo quiz da un milione?.
Occorre trovare il numero di modi con cui si può fattorizare 15015 con due fattori naturali. diciamo p·q = 15015.
Dopo di che il cateto pari è |p^2 - q^2|/2 e l'ipotenusa (p^2 +. q^2)/2.
[Facilissimo perché 15015 = 1·2.3·5·7·11·13 (tutti fattori primi semplici). Sarebbe un po' meno facile! – ma solo un po' – se il cateto dispari avesse fattori primi multipli. Allora i fattori p e q dovrebbero essere "coprimi"

[axpgn]

@Erasmus

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Dato un intero positivo $N$, questo può fungere da cateto in una terna pitagorica primitiva in $2^(n-1)$ modi, dove $n$ è il numero di primi nella scomposizione di $N$ (Es. $N=60=2^2*3*5$ da cui $n=3$ perciò i modi sono $2^(3-1)=4$ oppure $N=15015=3*5*7*11*13$ da cui $n=5$ e i modi sono $2^(5-1)=16$).
Sono ben accette dimostrazioni

EDIT: Dimenticanza

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Eccezione alla regola: se $N$ è pari e non è divisibile per $4$ allora $N$ non può essere il cateto di nessuna terna pitagorica primitiva.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

...Sarebbe un po' meno facile! – ma solo un po' – ...

Credo che sarebbe proprio la stessa cosa: per le terne pitagoriche primitive conta solo il numero di fattori primi diversi, non la loro molteplicità.
Una curiosità.

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Tutto giusto quel che dice Alex (per le dimostrazioni ci vuole veramente poco). Ho provato a conteggiare, nel caso di fattori primi tutti dispari e con molteplicità uno, il numero complessivo delle terne pitagoriche, trovando, salvo errori, $ (3^n-1)/2 $, che nel caso in esame, dove $ n=5 $, restituisce $ 121 $. Poffarbacco! un quadrato perfetto.
A parte i casi $ n=2, n=3 $ e $ n=5 $, ve ne saranno altri? Non conosco la risposta.

Ciao

[axpgn]

... il numero complessivo delle terne pitagoriche, ...

Intendi primitive e non? Era la domanda che volevo proporre ... ... ovviamente sei sulla buona strada ...

Per la precisione sarebbe: trovare una formula per determinare il numero di terne pitagoriche, primitive e non, per cui un dato intero $N$ può fungere da cateto.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Questo thread di Erasmus mi ha fatto ricordare qualcosa che avevo letto tempo fa e di cui mi ero "segnato" qualcosina (o meglio "fotografato" perché coi "potenti mezzi" di cui ora dispongo ( ) è più facile che prendere appunti, cosa che non sono mai stato capace di fare)

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Intendi primitive e non?

Naturalmente. Comunque mi interessa di più l'altra discussione: di terne pitagoriche ne ho la nausea.
Ciao

[axpgn]

Ma piacciono tanto a Erasmus ... (d'altra parte questa discussione è sua ...)

[Erasmus_First]

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[...] conta solo il numero di fattori primi diversi, non la loro molteplicità.

Ragione hai! [Un "lapsus" fu, dato che avevo detto che i due fattori devono essere coprimi],

[...] casi $ n=2, n=3 $ e $ n=5 $, ve ne saranno altri? Non conosco la risposta. [...]

La domanda è:
«Per quali $n$ interi positivi $(3^n-1)/2$ è il quadrato d'un intero?»
Neanch'io conosco la risposta per $n > 5$. [Non ne ho trovati per $6 ≤ n ≤ 26$.]
Occhio, però: hai messo $n=3$ che non c'entra e hai omesso il caso $n=1$.
Ciao ciao

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