Equazione funzionale

[.Ruben.]

Trovare tutte le funzioni f:Q→C tali che per ogni x razionale si abbia
\( \displaystyle f(x)\cdot\overline{f(2017)}=\overline{f(x)}\cdot f(2017) \)
e per ogni scelta di $x_1, ..., x_2017$ razionali si abbia
\( \displaystyle f(x+x_1+\ldots+x_{2017})=f(x)\cdot f(x_1)\cdot\ldots\cdot f(x_{2017}) \)

Ci tengo a precisare che non so se la mia soluzione é corretta; magari se non arrivamo risposte la posto tra qualche giorno per discuterla con voi

[kobeilprofeta]

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[j18eos]

Aggiungo l'ipotesi che \(\displaystyle f\) sia continua.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siano \(\displaystyle x,x_1=...=x_{2017}=0\in\mathbb{Q}\); per le ipotesi:
\[
f(x)=f(0)\cdot f(x)
\]
per cui \(\displaystyle f(0)\in\{0,1\}\). Errore! In realtà è \(\displaystyle f(x)=f(0)^{2017}\cdot f(x)\)...

Nell'eventualità che sia \(\displaystyle f(0)=0\), si ha che \(\displaystyle f\) è la funzione costantemente nulla.

Sia \(\displaystyle f(0)=1\), allora
\[
f(2017)=\overline{f(2017)}\Rightarrow f(2017)\in\mathbb{R}\Rightarrow\forall x\in\mathbb{Q},\,f(x)\in\mathbb{R};\\
\forall x_1,x_2,x=x_3=...=x_{2017}=0\in\mathbb{Q},\,f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)\Rightarrow\\
\Rightarrow f(-x_1)=f(x_1)^{-1}\iff\forall x\in\mathbb{Q},\,f(x)\neq0;\\
x=0,x_1=...=x_{2017}=1\in\mathbb{Q},\,f(2017)=f(1+...+1)=f(1)^{2017}\Rightarrow f(1)=\sqrt[2017]{f(2017)}.
\]
Detto \(\displaystyle f(1)=a\in\mathbb{R}\); mimando questa dimostrazione, la funzione ricercata è \(\displaystyle f(x)=e^{kx}\) con \(\displaystyle k\in\mathbb{R}\).

[orsoulx]

Scusa Armando, ma mi pare che tutte le funzioni $ f(x)=a^x $ con $ a>0 $ o, in alternativa, tutte le funzioni $f(x)=e^{kx}$ con $ k in RR $, quindi anche la funzione costante $ f(x)=1 $, soddisfino tutte le ipotesi poste.
Ciao

[.Ruben.]

Il problema sta nel f(0)=1 da cui fai discendere che f(2017)=f(2017) coniugato

Ci sono miriadi di funzioni non di quella forma che soddisfano

[j18eos]

@orsolux Ho dimenticato un \(\displaystyle k\in\mathbb{R}\).

Il problema sta nel f(0)=1...

Perché?

[giammaria]

Scusate l'ignoranza, ma cosa si intende con \( \displaystyle \overline{f(x)} \) ? Speravo che le risposte me lo chiarissero, ma non è così; forse a me è stato insegnato un simbolo diverso.

[j18eos]

@giammaria A meno di simbologie strane: sia \(\displaystyle z=a+ib\in\mathbb{C}\), ove ricordo che \(\displaystyle i^2=-1\); si definisce coniugato di \(\displaystyle z\) il numero complesso \(\displaystyle\overline{z}=a-ib\).

Facilmente si nota che \(\displaystyle z=\overline{z}\) se e solo se \(\displaystyle z=a\in\mathbb{R}\).

[giammaria]

@ j18eos. Grazie mille; adesso che me l'hai detto, mi è tornato in mente.

[orsoulx]

Perché?

Visto che nessuno ti risponde provo a farlo io.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ponendo $ x_1=x_2=...x_{2017}=0 $ si ottiene $ f(x)=f^{2017}(0)*f(x) $ che, in $ CC $, porta a $ f(0)=0 $, oppure $ f(0)=r_h $ dove $ r_h $ è una qualsiasi delle 2017 radici 2017-esime dell'unità; tu invece hai considerato solo $ f(0)=1 $
Mi pare, ma non ne sono affatto certo, che questo porti almeno a $ f(x)=e^{kx}*r_h$ per ogni $h$ prefissato, cioè a valori di $f(x)$ che coincidono, in modulo, con quelli che hai trovato, ma che hanno la medesima anomalia dell'$r_h$ scelto. Ovviamente, non sono in grado di dimostrare che non vi siano ulteriori possibilità.

Ciao