Traiettoria di due punti nel piano

[MaxVag]

Posto su un piano un riferimento cartesiano di centro O intorno al quale il punto A ruota con distanza 227,9 (Circonferenza) mentre un altro punto, B è fisso con distanza 21,2 da O.
La distanza AB è data da Carnot, mediante l’angolo α, tra OA e OB.
\( \overline{AB^2}=\overline{OA^2}+\overline{OB^2}-2\ \overline{OA}\ \overline{OB} \cos \alpha \)
Si indicano alcuni valori (a caso) di AB:
Tabella delle distanze AB in funzione di α°

α°	\(AB^2\)	AB
0°	42.724,54	206,699=206,7
35,3°	44.501,195	210,953
105,15°	54.912,885	234,334
180°	62.050,81	249,099=249,1
203,27°	61.792,451	248,580
270°	42.724,54	206,699=206,7

Dalla formula e dai dati AB della tabella, racchiusi tra un dato massimo ed uno minimo, determinare qual’è il luogo descritto (traiettoria) da A rispetto a B?

[giammaria]

A me sembra troppo facile; forse sbaglio di grosso o forse fraintendo il testo.
Poiché B è fisso, posso assumere un qualsiasi sistema di riferimento in cui questo accada. Scegliendolo con origine in O, la traiettoria di A è una circonferenza di centro O e raggio 227.9; resta tale anche se l'origine viene spostata in B.

[MaxVag]

Grazie giammaria.
La circonferenza di A e il punto B sono dati (i valori numerici possono essere a piacere).
B è punto interno alla circonferenza.
Quello che si chiede è la curva che si ottiene dal moto di A (circonferenza) rispetto a B fisso: il riferimento indicato in O è per semplificazione.
La Tabella, data come esempio numerico, dà i valori della distanza AB che non essendo uguali non può dare una circonferenza.
Ciao. M.V.

[giammaria]

La Tabella, data come esempio numerico, dà i valori della distanza AB che non essendo uguali non può dare una circonferenza.

Certo che può! Se A ruota su una circonferenza e B è un punto diverso dal centro, la distanza AB varia al variare di A. Fatti un disegno, e lo vedi subito.
Nel tuo caso, resta costante la distanza OA ed è questo che dice che si ha una circonferenza.

[axpgn]

Probabilmente intendeva il contrario: la "traiettoria" di $B$ rispetto ad $A$.

[giammaria]

Non credo che axpgn abbia ragione, dato che il testo iniziale dice che B è fisso.
Mi è invece venuto in mente un esempio che forse può convincere MaxVag. Pensa che A sia un'automobile che sta percorrendo la pista circolare di centro O; tu la guardi dal punto B. In certi momenti l'auto si avvicina a te ed in altri si allontana; la sua traiettoria è però quella pista.

[MaxVag]

Facciamo un attimo il punto!
Se A si muove su una circonferenza e B fisso è un punto interno a questa circonferenza, le sue distanze da A variano di volta in volta: e proprio perchè le sue distanze variano che il punto B non può essere centro di una circonferenza di A.
La traiettoria di A rispetto a B (tenete sempre presente questo) sarà allora un’altra curva.
Non lasciamoci trascinare da «si vede o non si vede»: se vogliamo essere dei matematici dobbiamo dare dimostrazioni.
Sarei felicissimo che qualcuno dimostrasse che A ruota intorno a B secondo una circonferenza: io sono riuscito ad ottenere solo la banale dimostrazione che la curva di A rispetto a B è una ellisse.
Pertanto senza influenzarvi, se riuscite a dare la vostra dimostrazione bene, altrimenti proverò a darvi la mia per essere d’accordo su un punto di partenza per una discussione: non vi ho proposto l’esercizietto per farvi perdere tempo!
A presto, ciao a tutti. M.V.

[giammaria]

proprio perchè le sue distanze variano che il punto B non può essere centro di una circonferenza di A.
La traiettoria di A rispetto a B (tenete sempre presente questo) sarà allora un’altra curva.

Ed infatti è un'altra curva: è una circonferenza il cui centro non è B.
Forse non hai ben chiaro il concetto di traiettoria. Pensa ad una macchina fotografica che ad intervalli molto ravvicinati fotografi soltanto A (ad esempio, può essere l'unico punto luminoso), imprimendo tutte le immagini su una stessa lastra: si chiama traiettoria la linea che tu vedi su quella lastra. Avviso ai pignoli: considero solo i moti nel piano orizzontale, che penso fotografati dall'alto.
Quando diciamo "traiettoria rispetto a B" intendiamo che la macchina fotografica si trova in B (o sulla sua verticale); nel tuo caso, in cui B è fisso, la traiettoria è una circonferenza.
Diverso sarebbe se B fosse in moto, ad esempio se si spostasse con moto rettilineo uniforme verso Nord. In questo caso ogni volta che A ha terminato un giro si trova, rispetto a B, un po' più a Sud di prima e la traiettoria di A rispetto a B non sarebbe più una circonferenza ma sarebbe formata da una linea di figure pressoché ovali collegate fra loro.

Nego recisamente che possa esserci un'ellisse con i valori indicati (bé, a meno che degeneri nella predetta circonferenza); ti sfido a darmi l'equazione di un'ellisse per cui questo succeda, per ogni valore di $alpha$.

Se vuoi mandare la tua dimostrazione, fai pure. Per risponderti in modo a te comprensibile avremo però bisogno di sapere il tuo livello di conoscenza: che classe frequenti?

[Erasmus_First]

[...] proprio perchè le sue distanze variano che il punto B non può essere centro di una circonferenza di A.

Ma che bella scoperta! E chi ha mai detto che se una curva "è una circonferenza rispetto a B" B debba essere il suo centro?
Se A gira su una circonferenza ovviamente gira attorno al centro di questa circonferenza (che non è B dato che B è distinto dal centro avendo da esso la distanza che hai deto che ha).
Punto e basta!

La traiettoria di A rispetto a B (tenete sempre presente questo) sarà allora un’altra curva.

Ma se hai detto che B è fisso e che A gira su una circonferenza, come fa 'sta circonferenza a non essere più una circonferenza? Hai mai sentito parlare del "principio di non contraddizione"?

Non lasciamoci trascinare da «si vede o non si vede»: se vogliamo essere dei matematici dobbiamo dare dimostrazioni.

Ooh per Bacco! Ma cosa vuoi dimostrare se non c'è niente da dimostrare?
La dizione "rispetto al punto B" significa che devi immaginare il vettore differenza tra la posizione di A e la posizione di B (qualunque siano le posizioni di A e B risopetto ad un prefissato riferimento).
Quindi, prescindendo dagli assi cartesiani – disegnarli o no non cambia un tubo! – considera nel piano del disegno una circonferenza (che tu stesso puoi disegnare dove ti pare) ed un punto B piazzato dove vuoi tu purché non sia nel centro della circonferenza). Adesso prendi un punto qualsiasi della circonferenza e battezzalo A. Poi traccia una "freccia" con la coda in B e la punta in A (ossia il segmento BA orientato da B ad A. Adesso immagina che questo disegno – una circonferenza, un suo punto A, un altro punto B ed una fraccia con la coda in B e la punta in A – sia una foto (una "istanntanea") del punto A che gira sulla circonferenza restando però collegato a B con un elastico (tanto cedevole da permettere ad A di andare nel punto della circonferenza alla massima distanza da B ma abbastanza corto in modo da restare teso anche quando A è alla minima distanza da B).

Se scatti tante foto mentre il punto A fa un giro e poi misuri in ogni foto la lunghezza dell'elastico e l'angolo di cui ha girato il punto A ti puoi costruire una tabella analoga a quella che hai messo tu. [Non identica, perché i numeri dipendono da quale è il raggio della circonferenza, da dove hai piazzato il punto B, dalla velocità di A e dall'intervallo di tempo tra una foto e la successiva).

Ciao ciao (a tutti, specie a Gianmaria),
______

[MaxVag]

La circonferenza di centro O percorsa dal punto A e il punto fisso B sono dati (i valori possono essere dati a caso); B e un punto interno alla circonferenza.
Diamo dei valori OA=R e OB=r.
Se ipotizzo r=0 avrò che il punto B coincide con il punto A: allora A ruota rispetto ad O secondo una circonferenza ed anche rispetto al punto B la sua curva (traiettoria) sarà una circonferenza poichè la distanza AB=OA.
Se ora ipotizzo r>0 il punto B non è più in O, il punto A ruoterà ancora secondo una circonferenza di centro O, ma rispetto al punto B che si è spostato, la sua curva, rispetto a quest’ultimo, sarà diversa da una circonferenza e la distanza AB non sarà più costante, ma varierà da un massimo (R+r) ad un minimo (R-r) (vedi esempio tabella).
Noi non possiamo vedere che genere di curva (traiettoria) avrà il punto A rispetto a B, perché vediamo solo che A percorre una circonferenza, ma possiamo cercarlo!
Riprendendo la formula di Carnot, indicata nel testo, applichiamo una trasformazione di equazioni (affinità).
\(\overline {AB}=\sqrt{\overline {OA^2}+\overline {OB^2}-2\overline{OA}\ \overline{OB} \cosα}=\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}=
\sqrt{R^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)+r^2(\cos^2α/2+sin^2α/2)-2Rr (\cos^2α/2-sin^2α/2)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2α/2+(R+r)\sin^2α/2}\\\)
posto(R-r)=b e (R+r)=a avremo infine:
\(\overline{AB}=\sqrt{b^2 \cos^2α/2+a^2\sin^2α/2}\\\)
pervenendo all’equazione di una ellisse in forma parametrica \(y=a\sinα/2 \qquad x=b\cosα/2\) con (b) asse minore sull’ascissa e (a) asse maggiore sull’ordinata.
Il valore AB, dunque, non solo mi fornisce i valori della distanza dei punti A e B ma in base ai suoi valori mi indica anche la traiettoria di A rispetto a B.
Aggiungiamo che l’angolo al centro della circonferenza è α, come indicato mentre l’angolo al centro β dell’ellisse sappiamo essere
\(\frac{y}{x}=\tanβ= \frac{a\sinα/2}{b\cosα/2}=\frac{a}{b}\tanα/2 \)
Noi vediamo che il punto A percorre sempre una circonferenza, ma dalla dimostrazione sopra sappiamo che il suo percorso rispetto a B è una ELLISSE!
L’equazioni indicate potrebbero essere provate con qualche programma tipo Grapher, Geogebra, Mathematica o altre, così potremmo risparmiare gli elastici.