Londer1995 ha scritto:[...] una circonferenza e, su questa, avete 3 punti: calcolate la probabilità che il centro di trovi nell’ipotetico triangolo formato unendo i 3 punti.
Il problema non è ben posto!
A parte il fatto che non dici che i tre punti sulla circonferenza hanno una posizione casuale (cosa che è ovviamente sottintesa), non viene precisato con che tipo di casualità è costruito il triangol (cioè sonp scelti i vertici).
Ovviamente, la probabilità che il centro stia dentro al triangolo è la probabilità che esso sia acutangolo (e la probabilità che stia fuori è la probabilità che il triangolo sia ottusangolo). [La probabilità che sia rettangolo, cioè che il centro non sia né dentro né fuori ma proprio sul perimetro, è infinitesima, cioè trascurabile].
Dico un modo semplicissimo in cui la probabilità richiesta è 1/2.
a) Traccio una corda a caso e chiamo A e B i suoi estremi sulla circonferenza; poi giro il cerchio in modo che la corda sia il confine tra un segmento circolare di destra ed uno di sinistra.
b) Lancio un dado (con le facce numerate da 1 a 6). Se viene pari (2, 4 o 6) segno un punto C sull'arco di circonferenza a destra della corda (non conta dove, purché sia a destra); se viene dispari (1, 3 o 5) segno un punto C sull'arco di sinistra.
Ovviamente, [se il dado è fatto bene] il triangolo ABC ha probabilità 1/2 di essere acutangolo (ed 1/2 di essere ottusangolo, (essendo trascurabile la probabilità che la corda a caso sia proprio un diametro).
Ci sono infiniti modi di costruire casualmente un triangolo inscritto nella data circonferenza. La probabilità che il triangolo sia o no acutangolo dipende dal modo (sempre casuale!) con cui il triangolo viene ostruito. Senza conoscere la modalità di costruzione del triangolo, la domanda "Con quale probabilità il centro del cerchio casca dntro al triangolo" non ha senso.
[Ed infatti, i miei predecessori, procedendo tutti casualmente ma con diverse modalitàm, arrivano a risultati non concordi!]
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Come esercizio si può richiedere la probabilità che il centro stia dentro proprio dicendo come viene costruito il triangolo.
Ecco allora un esercizietto di "teoria della probabilità".
[Premessa:
Si consideri l'anomalia $\phi$ di un punto $P$ sulla circonferenza goniometrica come si fa quando si inizia a spiegare le funzioni circolari seno e coseno,
Cioè:
Sia $\gamma$ il cerchio "goniometrico" di raggio 1 e centro in $O(0, 0)$. Sia $r$ la semiretta di origine $O(0, 0)$ per $U(1,0)$.
Al punto $U(1, 0)$ si associ l'angolo $φ = 0$. Per ogni altro punto punto $P$ della circonferenza di $\gamma$ sia $s$ la semiretta di origine $O(0,0)$ per $P$, e si associ a $P$ l'angolo orientato $φ$ di lato-origine $r$ e e lato-termine $s$.
Questi angoli $φ$ (con $0 ≤ φ \ 2π$) sono in corrispondenza biunivoca con i punti $P$ della circonferenza. Diremo "anomalia di $P$" questo angolo φ (determinato come appena descritto descritto) Fine della premessa].
[color=blue]«Si estraggano casualmente tre reali $[φ_A, φ_B, φ_C]$ compresi tra 0 e 2π esclusi (con probabilità uniforme su tutto l'angolo giro) e si segnino i corrispondenti punti $A$, $B$ e $C$ di rispettive anomalie $[φ_A, φ_B, φ_C]. Determinare la probabilità che il centro stia nel triangolo ABC.
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ma il ragionamento (e i risultato) dovrebbero essere i medesimi!
