Cerchio e triangolo

[dan95]

un triangolo, le cui lunghezze dei lati sono date
da numeri interi di metri, e da un cerchio inscritto. Se si
aumentasse di due metri la lunghezza del lato più lungo, si
otterrebbe la somma delle lunghezze degli altri due lati. Il raggio
del cerchio inscritto è un numero intero di metri. La superficie
del triangolo è di 2016 m2
.
Qual è, in metri, il perimetro del triangolo?

[Erasmus_First]

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Indico come si può risolvere facilmente il problema per tantativi.
Non so se esista un procedimento sintetico più sbrigativo.
Siccome non posso più programmare non sono in grado di dare un seguito sbrigativo al procedimento risolutivo che indico. Ma penso che qualcun altro – per esempio axpgn – possa risolvere il quiz col procedimento da me applicato in un battibaleno!

Essendo $2016 = 2^5· 3^2·7 $, detti $[a, b. c]$ i lati in ordine crescente, sapendo che è $c=a+b-2$, con la formula di Erone per l'are del trianglo ricavo
$(a+b-1)(b-1)(a-1)·1 = 2^10·3^4·7^2$
Pongo per comodità
$a = x+1$; $b=y+1$
e l'equzione di sopra diventa
$(x+y+1)xy = 2^10·3^4·7^2$ (*)
Con un facile programmino posso cercare le coppie di interi positivi $[x, y]$ che risolvono questa equazione diofantea.
Infine il quadrato del raggio del cerchio inscritto è
$ r^2 = (ab)/(a+b-1)-1 = (xy)/(x+y+1)$.
Affinché r sia intero occorre che il prodotto $xy)$ sia divisibile per la somma $x+y+1$ ed il quoziente sia il quadrato d'un intero.
Fra le soluzioni della (*) occorre dunque scegliere quella (o quelle) per cui il rapposto $(xy)/(x+y+1)$ è il quadrato d'un intero.
Infine, il perimetro (o i perimetri) richiesto sarà 2(x+y+1).

[axpgn]

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Ma penso che qualcun altro – per esempio axpgn – possa risolvere il quiz col procedimento da me applicato in un battibaleno!

Ho il computer rotto ... però mi sono arrangiato ...

Usando quanto detto da Erasmus avrei trovato questa soluzione $a=64, b=225, c=287$

Cordialmente, Alex

[giammaria]

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@Erasmus_First
La tua prima formula va corretta in
$(a+b-1)(b-1)(a-1)·1 = 2^10·3^4·7^2$
E' solo un errore di digitazione, perché poi ne deduci una formula giusta.

Però, in esercizi di questo tipo, il proporre di ricorrere al computer equivale al dichiararsi sconfitti e suggerisco a tutti (anche a me) di continuare a cercare una soluzione diversa.
Una via, ancora troppo lunga se fatta a mano, può essere notare che dei tre fattori $x, y, x+y+1$ uno deve essere dispari e quindi del tipo $3^h*7^k$ con $h=0,1,2,3,4$ e $k=0,1,2$ (15 possibilità).
Supponendo che quel fattore sia $x$, gli assegniamo questi valori e ricaviamo $y$ dall'equazione, scartando i casi di soluzioni non intere. La simmetria rende inutile considerare il caso in cui quel fattore è $y$; se invece è dispari $z=x+y+1$, esprimiamo in funzione di $z$ una fra $x,y$ e procediamo nello stesso modo. In totale, si tratta di risolvere 30 equazioni di secondo grado.

Al momento di inviare, vedo la soluzione di axpgn: decisamente apprezzabile, ma se è stata ottenuta al computer lascia invariata la mia osservazione.

[Erasmus_First]

@Erasmus_First
La tua prima formula va corretta in
$(a+b-1)(b-1)(a-1)·1 = 2^10·3^4·7^2$

Sì. Grazie della segnalazione.
Ho editato e corretto (e corretti altri errori di battitura).
______

[Erasmus_First]

Ho il computer rotto ... però mi sono arrangiato ...

Bravo!

[...] avrei trovato questa soluzione [...]

Ma perché usi il condizionale se la soluzione è quella giusta?
–––––––
Ma come hai fatto di preciso a trovarla?

[Io avevo immaginato che un lato (diciamo quello lungo $a$) portesse essere lungo 64 in modo da avere un $a–1=63$ come fattore nella formula dell'area, Ma dopo alcuni tentativi (andati a vuoto) per la lunghezza dell'altro lato ... ho desistito

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

(dovendo, purtroppo, occuparmi di problemi "medici" miei e/o di miei stretti congiunti che stan peggio di me).

––––––––––
@ giammaria
Se uno ha tempo e pazienza può fare a mano qualsiasi cosa faccia il computer!
Anche un contadino, se ha tempo, salute e pazienza, può vangare tutto il campo invece di ararlo col trattore!
Se, quando non dispone del trattore, rinuncia a vangarsi il campo perché ci metterebbe troppo tempo, è si scomfitto: ma non dall'ignavia – o va meglio dire "dall'accidia"? –, bensì proprio dal non disporre del trattore!

Ciao Alex, ciao giammaria
___________

[axpgn]

Ma perché usi il condizionale se la soluzione è quella giusta?

Perchè non l'ho verificata (ho fatto solo i conti) ed anche perchè è un mio modo di essere ...

Ma come hai fatto di preciso a trovarla?

Col computer!
Dopo qualche tentativo "manuale", come hai fatto tu, ho lasciato perdere (anche se col senno di poi non ero molto lontano) ed ho ripescato un vecchio pc, malandato anch'esso, e l'ho rimesso in sesto quanto basta ...

Aggiungo solo che, sostanzialmente, concordo con giammaria ... però anche trovare un algoritmo che trovi le soluzioni velocemente non è poi così banale come potebbe sembrare (soprattutto per uno che in pratica usa solo "for" e "if", già col "while" si incasina ... )

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Rilancio!

Nel problema posto qui da dan95 occorre trovare i lati di un triangolo sapendo
• che i lati sono interi;
• che la somma di due lati supera di due unità il terzo lato;
• che l'area vale un dato numero intero S e
• che il raggio del cerchio inscritto è intero.

Modifico il quiz come segue:
Trovare le lungheze dei lati di un triiangolo sapendo
• che i lati sono interi;
• che la somma di due lati supera di due unità il terzo lato;
• che l'area è pure un numero intero e
• che il raggio del cerchio inscritto è un dato numero intero $r.$

Beh: Se al posto di S = 2016 fosse stato S = 6 era quasi immediato trovare che il lati erano lunghi 3, 4 e 5 ed il raggio del cerchio inscritto era 1.

La vera domanda che mi sono posto – alla quale ovviamente non so per ora rispondere – è questa:
Dato un numero intero positivo arbitrario $r$, esiste sempre almeno un triangolo che abbia
• i lati interi,
• il lato più lungo minore di due unità della somma degli altri due lati,
• l'area intera e
• il cerchio inscritto di dato raggio $r$?

E' facile verificare che un tale triangolo c'è per
• $r$ = 1 (con $[a, b, c] = [3, 4, 5]$),
• $r$ = 2 (con $[a, b, c] = [6, 25, 29]$) e
• $r$ = 3 (con $[a, b, c] = [12, 55, 65]$).
E sappiamo già che c'è quello per $r = 7$ (con $[a, b, c] = [64, 225, 287]$).

Proviano a vedere se c'è quello per $r = 4$, $r = 5$, $r = 6$, ecc.

Sarebbe bello che si potesse dimostrare che il mio quiz ha soluzione per ogni raggio intero.
Qualcuno ci prova?
_______

[giammaria]

Erasmus, la tua idea mi sembra interessante e proverò a svilupparla. Finora ho tentato con altri approcci, ma con scarso risultato; l'unica cosa che può avere un certo interesse è l'aver dimostrato che $x+y+1<xy$ e quindi $x+y+1<2016$.
Noto che non sei soddisfatto della sola risposta al computer ed anch'io avevo precisato che non va bene in casi come questo, tesi al ragionamento puro. Per usare la tua metafora del contadino, non desideriamo avere un campo lavorato, ma partecipare ad una gara di vangatura; chi usa il trattore si auto-squalifica.

EDIT: ho cancellato una frase sbagliata, come ho notato in un esame più attento.

[axpgn]

Io ho solo aiutato Erasmus come richiesto da Lui stesso medesimo ...